ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$;

б) $\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$

Доказать тождество:

а) $\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) =$$ $$= (\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)) =$$ $$= 2 \sin \frac{2\beta}{2} \cdot \cos \frac{2a}{2} \cdot 2 \sin \frac{2a}{2} \cdot \cos \frac{2\beta}{2} =$$ $$= 2 \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$

Тождество доказано.

б) $\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) =$$ $$= (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))(\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta)) =$$ $$= -2 \sin \frac{2a}{2} \cdot \sin \frac{-2\beta}{2} \cdot 2 \cos \frac{2a}{2} \cdot \cos \frac{2\beta}{2} =$$ $$= 2 \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а) $\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$.

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов

Используем стандартную формулу разности квадратов:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

Тогда:

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = (\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta))$$

Шаг 2: Применим формулы для разности и суммы синусов

Для выражений $\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)$ и $\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)$ используем стандартные тригонометрические формулы:

1. $\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$
2. $\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$

Подставляем $A = a + \beta$ и $B = a — \beta$:

Для $\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)$:

$$\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) = 2 \cdot \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos\left(\frac{2a}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\beta}{2}\right) = 2 \cdot \cos a \cdot \sin \beta$$

Для $\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)$:

$$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = 2 \cdot \sin\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \sin\left(\frac{2a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\beta}{2}\right) = 2 \cdot \sin a \cdot \cos \beta$$

Шаг 3: Подставим эти выражения обратно

Теперь, подставим полученные результаты в исходное выражение:

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = (2 \cdot \cos a \cdot \sin \beta) \cdot (2 \cdot \sin a \cdot \cos \beta)$$ $$= 4 \cdot \cos a \cdot \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$$

Шаг 4: Используем формулы для удвоенных углов

Напоминаем, что:

$$\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a \quad \text{и} \quad \sin 2\beta = 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$$

Таким образом, выражение можно записать как:

$$4 \cdot \cos a \cdot \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Шаг 5: Заключение

Мы получаем, что:

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Тождество доказано.

б) $\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$.

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов

Сначала используем аналогичную формулу разности квадратов:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

Тогда:

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))(\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta))$$

Шаг 2: Применим формулы для разности и суммы косинусов

Для выражений $\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)$ и $\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta)$ используем стандартные тригонометрические формулы:

1. $\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$
2. $\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$

Подставляем $A = a — \beta$ и $B = a + \beta$:

Для $\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)$:

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = -2 \cdot \sin\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right)$$ $$= -2 \cdot \sin(a) \cdot \sin(-\beta) = 2 \cdot \sin a \cdot \sin \beta$$

Для $\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta)$:

$$\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta) = 2 \cdot \cos\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos(a) \cdot \cos(\beta)$$

Шаг 3: Подставим эти выражения обратно

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное выражение:

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = (2 \cdot \sin a \cdot \sin \beta) \cdot (2 \cdot \cos a \cdot \cos \beta)$$ $$= 4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$$

Шаг 4: Используем формулы для удвоенных углов

Так как $\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a$ и $\sin 2\beta = 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$, то:

$$4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Шаг 5: Заключение

Мы получаем, что:

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Тождество доказано.