1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс по Алгебре — Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.13 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
Год
2015-2020.
Издательство
Мнемозина.
Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите тождество:

а) sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;

б) cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta

Краткий ответ

Доказать тождество:

а) sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;

Преобразуем левую часть равенства:

sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = =(sin⁡(a+β)−sin⁡(a−β))(sin⁡(a+β)+sin⁡(a−β))== (\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)) = =2sin⁡2β2⋅cos⁡2a2⋅2sin⁡2a2⋅cos⁡2β2== 2 \sin \frac{2\beta}{2} \cdot \cos \frac{2a}{2} \cdot 2 \sin \frac{2a}{2} \cdot \cos \frac{2\beta}{2} = =2sin⁡a⋅cos⁡a⋅2sin⁡β⋅cos⁡β=sin⁡2a⋅sin⁡2β;= 2 \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;

Тождество доказано.

б) cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;

Преобразуем левую часть равенства:

cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = =(cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β))(cos⁡(a−β)+cos⁡(a+β))== (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))(\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta)) = =−2sin⁡2a2⋅sin⁡−2β2⋅2cos⁡2a2⋅cos⁡2β2== -2 \sin \frac{2a}{2} \cdot \sin \frac{-2\beta}{2} \cdot 2 \cos \frac{2a}{2} \cdot \cos \frac{2\beta}{2} = =2sin⁡a⋅cos⁡a⋅2sin⁡β⋅cos⁡β=sin⁡2a⋅sin⁡2β;= 2 \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;

Тождество доказано.

Подробный ответ

Доказать тождество:

а) sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta.

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов

Используем стандартную формулу разности квадратов:

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)

Тогда:

sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=(sin⁡(a+β)−sin⁡(a−β))(sin⁡(a+β)+sin⁡(a−β))\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = (\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta))

Шаг 2: Применим формулы для разности и суммы синусов

Для выражений sin⁡(a+β)−sin⁡(a−β)\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) и sin⁡(a+β)+sin⁡(a−β)\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) используем стандартные тригонометрические формулы:

  1. sin⁡A−sin⁡B=2⋅cos⁡(A+B2)⋅sin⁡(A−B2)\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
  2. sin⁡A+sin⁡B=2⋅sin⁡(A+B2)⋅cos⁡(A−B2)\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)

Подставляем A=a+βA = a + \beta и B=a−βB = a — \beta:

Для sin⁡(a+β)−sin⁡(a−β)\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta):

sin⁡(a+β)−sin⁡(a−β)=2⋅cos⁡((a+β)+(a−β)2)⋅sin⁡((a+β)−(a−β)2)\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) = 2 \cdot \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right) =2⋅cos⁡(2a2)⋅sin⁡(2β2)=2⋅cos⁡a⋅sin⁡β= 2 \cdot \cos\left(\frac{2a}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\beta}{2}\right) = 2 \cdot \cos a \cdot \sin \beta

Для sin⁡(a+β)+sin⁡(a−β)\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta):

sin⁡(a+β)+sin⁡(a−β)=2⋅sin⁡((a+β)+(a−β)2)⋅cos⁡((a+β)−(a−β)2)\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = 2 \cdot \sin\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right) =2⋅sin⁡(2a2)⋅cos⁡(2β2)=2⋅sin⁡a⋅cos⁡β= 2 \cdot \sin\left(\frac{2a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\beta}{2}\right) = 2 \cdot \sin a \cdot \cos \beta

Шаг 3: Подставим эти выражения обратно

Теперь, подставим полученные результаты в исходное выражение:

sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=(2⋅cos⁡a⋅sin⁡β)⋅(2⋅sin⁡a⋅cos⁡β)\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = (2 \cdot \cos a \cdot \sin \beta) \cdot (2 \cdot \sin a \cdot \cos \beta) =4⋅cos⁡a⋅sin⁡a⋅sin⁡β⋅cos⁡β= 4 \cdot \cos a \cdot \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta

Шаг 4: Используем формулы для удвоенных углов

Напоминаем, что:

sin⁡2a=2⋅sin⁡a⋅cos⁡aиsin⁡2β=2⋅sin⁡β⋅cos⁡β\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a \quad \text{и} \quad \sin 2\beta = 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta

Таким образом, выражение можно записать как:

4⋅cos⁡a⋅sin⁡a⋅sin⁡β⋅cos⁡β=2⋅sin⁡a⋅cos⁡a⋅2⋅sin⁡β⋅cos⁡β=sin⁡2a⋅sin⁡2β4 \cdot \cos a \cdot \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta

Шаг 5: Заключение

Мы получаем, что:

sin⁡2(a+β)−sin⁡2(a−β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta

Тождество доказано.

б) cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta.

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов

Сначала используем аналогичную формулу разности квадратов:

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)

Тогда:

cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=(cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β))(cos⁡(a−β)+cos⁡(a+β))\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))(\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta))

Шаг 2: Применим формулы для разности и суммы косинусов

Для выражений cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β)\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) и cos⁡(a−β)+cos⁡(a+β)\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta) используем стандартные тригонометрические формулы:

  1. cos⁡A−cos⁡B=−2⋅sin⁡(A+B2)⋅sin⁡(A−B2)\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
  2. cos⁡A+cos⁡B=2⋅cos⁡(A+B2)⋅cos⁡(A−B2)\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)

Подставляем A=a−βA = a — \beta и B=a+βB = a + \beta:

Для cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β)\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta):

cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β)=−2⋅sin⁡((a−β)+(a+β)2)⋅sin⁡((a−β)−(a+β)2)\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = -2 \cdot \sin\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right) =−2⋅sin⁡(a)⋅sin⁡(−β)=2⋅sin⁡a⋅sin⁡β= -2 \cdot \sin(a) \cdot \sin(-\beta) = 2 \cdot \sin a \cdot \sin \beta

Для cos⁡(a−β)+cos⁡(a+β)\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta):

cos⁡(a−β)+cos⁡(a+β)=2⋅cos⁡((a−β)+(a+β)2)⋅cos⁡((a−β)−(a+β)2)\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta) = 2 \cdot \cos\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right) =2⋅cos⁡(a)⋅cos⁡(β)= 2 \cdot \cos(a) \cdot \cos(\beta)

Шаг 3: Подставим эти выражения обратно

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное выражение:

cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=(2⋅sin⁡a⋅sin⁡β)⋅(2⋅cos⁡a⋅cos⁡β)\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = (2 \cdot \sin a \cdot \sin \beta) \cdot (2 \cdot \cos a \cdot \cos \beta) =4⋅sin⁡a⋅cos⁡a⋅sin⁡β⋅cos⁡β= 4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta

Шаг 4: Используем формулы для удвоенных углов

Так как sin⁡2a=2⋅sin⁡a⋅cos⁡a\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a и sin⁡2β=2⋅sin⁡β⋅cos⁡β\sin 2\beta = 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta, то:

4⋅sin⁡a⋅cos⁡a⋅sin⁡β⋅cos⁡β=2⋅sin⁡a⋅cos⁡a⋅2⋅sin⁡β⋅cos⁡β=sin⁡2a⋅sin⁡2β4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot 2 \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta

Шаг 5: Заключение

Мы получаем, что:

cos⁡2(a−β)−cos⁡2(a+β)=sin⁡2a⋅sin⁡2β\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta

Тождество доказано.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
4.6 / 5
Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Другие предметы
Алгебра
7-10 класс
7 10 10