ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\cos {24}^{\circ }+\cos {48}^{\circ }-\cos {84}^{\circ }-\cos {12}^{\circ }$

б) $tg{9}^{\circ }-tg{63}^{\circ }+tg{81}^{\circ }-tg{27}^{\circ }=(tg{9}^{\circ }+tg{81}^{\circ })-(tg{63}^{\circ }+tg{27}^{\circ })$

а) $\cos 24^\circ + \cos 48^\circ — \cos 84^\circ — \cos 12^\circ =$

$= (\cos 48^\circ + \cos 24^\circ) — (\cos 84^\circ + \cos 12^\circ) =$

$= 2 \cos \frac{48^\circ + 24^\circ}{2} \cdot \cos \frac{48^\circ — 24^\circ}{2} — 2 \cos \frac{84^\circ + 12^\circ}{2} \cdot \cos \frac{84^\circ — 12^\circ}{2} =$

$= 2 \cos 36^\circ \cdot \cos 12^\circ — 2 \cos 48^\circ \cdot \cos 36^\circ = 2 \cos 36^\circ \cdot (\cos 12^\circ — \cos 48^\circ) =$

$= 2 \cos 36^\circ \cdot (-2) \cdot \sin \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \cdot \sin \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} =$

$= 2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \sin 30^\circ = 4 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ \cdot \frac{1}{2} =$

$= \frac{2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ}{2 \cos 18^\circ} = \frac{2 \cos 36^\circ \cdot \sin 36^\circ}{2 \cos (90^\circ — 72^\circ)} = \frac{\sin 72^\circ}{2 \sin 72^\circ} = \frac{1}{2}$,

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $tg 9^\circ — tg 63^\circ + tg 81^\circ — tg 27^\circ = (tg 9^\circ + tg 81^\circ) — (tg 63^\circ + tg 27^\circ) =$

$= \left( \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\sin 81^\circ}{\cos 81^\circ} \right) — \left( \frac{\sin 63^\circ}{\cos 63^\circ} + \frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ} \right) =$

$= \frac{\sin 9^\circ \cdot \cos 81^\circ + \sin 81^\circ \cdot \cos 9^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \cos 81^\circ} — \frac{\sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ + \sin 27^\circ \cdot \cos 63^\circ}{\cos 63^\circ \cdot \cos 27^\circ} =$

$= \frac{\sin (9^\circ + 81^\circ)}{\cos 9^\circ \cdot \cos (90^\circ — 9^\circ)} — \frac{\sin (63^\circ + 27^\circ)}{\cos (90^\circ — 27^\circ) \cdot \cos 27^\circ} =$

$= \frac{\sin 90^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \sin 9^\circ} — \frac{\sin 90^\circ}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} = \frac{1}{0,5 \sin 18^\circ} — \frac{1}{0,5 \sin 54^\circ} =$

$= \frac{2}{\sin 18^\circ} — \frac{2}{\sin 54^\circ} = \frac{2 (\sin 54^\circ — \sin 18^\circ)}{\sin 18^\circ \cdot \sin 54^\circ} =$

$= \frac{2 \cdot 2 \sin \frac{54^\circ — 18^\circ}{2} \cdot \cos \frac{54^\circ + 18^\circ}{2}}{\sin 18^\circ \cdot \sin (90^\circ — 36^\circ)} = \frac{4 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ} = 4$;

Ответ: 4.

а)

Задано выражение:

$$\cos 24^\circ + \cos 48^\circ — \cos 84^\circ — \cos 12^\circ$$

Группировка:

Разбиваем выражение на два блока:

$$(\cos 48^\circ + \cos 24^\circ) — (\cos 84^\circ + \cos 12^\circ)$$

Использование формулы для суммы косинусов:

Для двух косинусов можно применить формулу для суммы:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим эту формулу к первым двум косинусам и ко вторым:

$$\cos 48^\circ + \cos 24^\circ = 2 \cos \left( \frac{48^\circ + 24^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{48^\circ — 24^\circ}{2} \right)$$ $$= 2 \cos 36^\circ \cdot \cos 12^\circ$$ $$\cos 84^\circ + \cos 12^\circ = 2 \cos \left( \frac{84^\circ + 12^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{84^\circ — 12^\circ}{2} \right)$$ $$= 2 \cos 48^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Подстановка:

Подставляем полученные выражения в исходное:

$$2 \cos 36^\circ \cdot \cos 12^\circ — 2 \cos 48^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Вынесение общего множителя:

В обоих слагаемых есть общий множитель $2 \cos 36^\circ$, вынесем его за скобки:

$$2 \cos 36^\circ \cdot (\cos 12^\circ — \cos 48^\circ)$$

Использование формулы для разности косинусов:

Применим формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем к $\cos 12^\circ — \cos 48^\circ$:

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = -2 \sin \left( \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \right)$$ $$= -2 \sin 30^\circ \cdot \sin (-18^\circ)$$ $$= 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ \quad (\text{поскольку } \sin(-x) = -\sin(x))$$

Подстановка:

Подставляем в исходное выражение:

$$2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ$$

Упрощение:

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$$2 \cos 36^\circ \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = 2 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ$$

Использование тригонометрической идентичности:

Мы знаем, что:

$$\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ = \frac{1}{2} \sin 72^\circ$$

Подставляем это в выражение:

$$2 \cdot \frac{1}{2} \sin 72^\circ = \sin 72^\circ$$

Завершающий шаг:

В итоге:

$$\frac{\sin 72^\circ}{2 \sin 72^\circ} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Задано выражение:

$$\tg 9^\circ — \tg 63^\circ + \tg 81^\circ — \tg 27^\circ$$

Группировка:

Разбиваем выражение на два блока:

$$(\tg 9^\circ + \tg 81^\circ) — (\tg 63^\circ + \tg 27^\circ)$$

Использование формулы для суммы тангенсов:

Формула для суммы тангенсов:

$$\tg A + \tg B = \frac{\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A}{\cos A \cdot \cos B}$$

Применяем эту формулу к первым двум тангенсам:

$$\tg 9^\circ + \tg 81^\circ = \frac{\sin 9^\circ \cdot \cos 81^\circ + \sin 81^\circ \cdot \cos 9^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \cos 81^\circ}$$ $$= \frac{\sin (9^\circ + 81^\circ)}{\cos 9^\circ \cdot \cos (90^\circ — 9^\circ)}$$ $$= \frac{\sin 90^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \sin 9^\circ} = \frac{1}{\cos 9^\circ \cdot \sin 9^\circ}$$

Точно так же для вторых двух тангенсов:

$$\tg 63^\circ + \tg 27^\circ = \frac{\sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ + \sin 27^\circ \cdot \cos 63^\circ}{\cos 63^\circ \cdot \cos 27^\circ}$$ $$= \frac{\sin (63^\circ + 27^\circ)}{\cos (90^\circ — 27^\circ) \cdot \cos 27^\circ}$$ $$= \frac{\sin 90^\circ}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} = \frac{1}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ}$$

Подстановка и упрощение:

Подставляем выражения в исходную формулу:

$$= \frac{1}{0.5 \sin 18^\circ} — \frac{1}{0.5 \sin 54^\circ}$$

Умножаем числители и знаменатели на 2:

$$= \frac{2}{\sin 18^\circ} — \frac{2}{\sin 54^\circ}$$

Использование формулы для разности синусов:

Применяем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Применяем её к $\sin 54^\circ — \sin 18^\circ$:

$$\sin 54^\circ — \sin 18^\circ = 2 \sin \left( \frac{54^\circ — 18^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{54^\circ + 18^\circ}{2} \right)$$ $$= 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Подстановка:

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{2 \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \cdot \sin 54^\circ} = \frac{4 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}$$

Упрощение:

После сокращения $\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ$ остается:

$$4$$

Ответ: $4$$$