1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс по Алгебре — Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.17 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
10 класс
Класс
10
Предмет
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
Год
2015-2020.
Издательство
Мнемозина.
Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Вычислите:

а) cos⁡24∘+cos⁡48∘−cos⁡84∘−cos⁡12∘

б) tg9∘−tg63∘+tg81∘−tg27∘=(tg9∘+tg81∘)−(tg63∘+tg27∘)

Краткий ответ

а) cos⁡24∘+cos⁡48∘−cos⁡84∘−cos⁡12∘=\cos 24^\circ + \cos 48^\circ — \cos 84^\circ — \cos 12^\circ =

=(cos⁡48∘+cos⁡24∘)−(cos⁡84∘+cos⁡12∘)== (\cos 48^\circ + \cos 24^\circ) — (\cos 84^\circ + \cos 12^\circ) =

=2cos⁡48∘+24∘2⋅cos⁡48∘−24∘2−2cos⁡84∘+12∘2⋅cos⁡84∘−12∘2== 2 \cos \frac{48^\circ + 24^\circ}{2} \cdot \cos \frac{48^\circ — 24^\circ}{2} — 2 \cos \frac{84^\circ + 12^\circ}{2} \cdot \cos \frac{84^\circ — 12^\circ}{2} =

=2cos⁡36∘⋅cos⁡12∘−2cos⁡48∘⋅cos⁡36∘=2cos⁡36∘⋅(cos⁡12∘−cos⁡48∘)== 2 \cos 36^\circ \cdot \cos 12^\circ — 2 \cos 48^\circ \cdot \cos 36^\circ = 2 \cos 36^\circ \cdot (\cos 12^\circ — \cos 48^\circ) =

=2cos⁡36∘⋅(−2)⋅sin⁡12∘−48∘2⋅sin⁡12∘+48∘2== 2 \cos 36^\circ \cdot (-2) \cdot \sin \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \cdot \sin \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} =

=2cos⁡36∘⋅2sin⁡18∘⋅sin⁡30∘=4cos⁡36∘⋅sin⁡18∘⋅12== 2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \sin 30^\circ = 4 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ \cdot \frac{1}{2} =

=2cos⁡36∘⋅2sin⁡18∘⋅cos⁡18∘2cos⁡18∘=2cos⁡36∘⋅sin⁡36∘2cos⁡(90∘−72∘)=sin⁡72∘2sin⁡72∘=12= \frac{2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ}{2 \cos 18^\circ} = \frac{2 \cos 36^\circ \cdot \sin 36^\circ}{2 \cos (90^\circ — 72^\circ)} = \frac{\sin 72^\circ}{2 \sin 72^\circ} = \frac{1}{2},

Ответ: 12\frac{1}{2}.

б) tg9∘−tg63∘+tg81∘−tg27∘=(tg9∘+tg81∘)−(tg63∘+tg27∘)=tg 9^\circ — tg 63^\circ + tg 81^\circ — tg 27^\circ = (tg 9^\circ + tg 81^\circ) — (tg 63^\circ + tg 27^\circ) =

=(sin⁡9∘cos⁡9∘+sin⁡81∘cos⁡81∘)−(sin⁡63∘cos⁡63∘+sin⁡27∘cos⁡27∘)== \left( \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\sin 81^\circ}{\cos 81^\circ} \right) — \left( \frac{\sin 63^\circ}{\cos 63^\circ} + \frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ} \right) =

=sin⁡9∘⋅cos⁡81∘+sin⁡81∘⋅cos⁡9∘cos⁡9∘⋅cos⁡81∘−sin⁡63∘⋅cos⁡27∘+sin⁡27∘⋅cos⁡63∘cos⁡63∘⋅cos⁡27∘== \frac{\sin 9^\circ \cdot \cos 81^\circ + \sin 81^\circ \cdot \cos 9^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \cos 81^\circ} — \frac{\sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ + \sin 27^\circ \cdot \cos 63^\circ}{\cos 63^\circ \cdot \cos 27^\circ} =

=sin⁡(9∘+81∘)cos⁡9∘⋅cos⁡(90∘−9∘)−sin⁡(63∘+27∘)cos⁡(90∘−27∘)⋅cos⁡27∘== \frac{\sin (9^\circ + 81^\circ)}{\cos 9^\circ \cdot \cos (90^\circ — 9^\circ)} — \frac{\sin (63^\circ + 27^\circ)}{\cos (90^\circ — 27^\circ) \cdot \cos 27^\circ} =

=sin⁡90∘cos⁡9∘⋅sin⁡9∘−sin⁡90∘sin⁡27∘⋅cos⁡27∘=10,5sin⁡18∘−10,5sin⁡54∘== \frac{\sin 90^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \sin 9^\circ} — \frac{\sin 90^\circ}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} = \frac{1}{0,5 \sin 18^\circ} — \frac{1}{0,5 \sin 54^\circ} =

=2sin⁡18∘−2sin⁡54∘=2(sin⁡54∘−sin⁡18∘)sin⁡18∘⋅sin⁡54∘== \frac{2}{\sin 18^\circ} — \frac{2}{\sin 54^\circ} = \frac{2 (\sin 54^\circ — \sin 18^\circ)}{\sin 18^\circ \cdot \sin 54^\circ} =

=2⋅2sin⁡54∘−18∘2⋅cos⁡54∘+18∘2sin⁡18∘⋅sin⁡(90∘−36∘)=4sin⁡18∘⋅cos⁡36∘sin⁡18∘⋅cos⁡36∘=4= \frac{2 \cdot 2 \sin \frac{54^\circ — 18^\circ}{2} \cdot \cos \frac{54^\circ + 18^\circ}{2}}{\sin 18^\circ \cdot \sin (90^\circ — 36^\circ)} = \frac{4 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ} = 4;

Ответ: 4.

Подробный ответ

а)

Задано выражение:

cos⁡24∘+cos⁡48∘−cos⁡84∘−cos⁡12∘\cos 24^\circ + \cos 48^\circ — \cos 84^\circ — \cos 12^\circ

Группировка:

Разбиваем выражение на два блока:

(cos⁡48∘+cos⁡24∘)−(cos⁡84∘+cos⁡12∘)(\cos 48^\circ + \cos 24^\circ) — (\cos 84^\circ + \cos 12^\circ)

Использование формулы для суммы косинусов:

Для двух косинусов можно применить формулу для суммы:

cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡(A+B2)⋅cos⁡(A−B2)\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)

Применим эту формулу к первым двум косинусам и ко вторым:

cos⁡48∘+cos⁡24∘=2cos⁡(48∘+24∘2)⋅cos⁡(48∘−24∘2)\cos 48^\circ + \cos 24^\circ = 2 \cos \left( \frac{48^\circ + 24^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{48^\circ — 24^\circ}{2} \right) =2cos⁡36∘⋅cos⁡12∘= 2 \cos 36^\circ \cdot \cos 12^\circ cos⁡84∘+cos⁡12∘=2cos⁡(84∘+12∘2)⋅cos⁡(84∘−12∘2)\cos 84^\circ + \cos 12^\circ = 2 \cos \left( \frac{84^\circ + 12^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{84^\circ — 12^\circ}{2} \right) =2cos⁡48∘⋅cos⁡36∘= 2 \cos 48^\circ \cdot \cos 36^\circ

Подстановка:

Подставляем полученные выражения в исходное:

2cos⁡36∘⋅cos⁡12∘−2cos⁡48∘⋅cos⁡36∘2 \cos 36^\circ \cdot \cos 12^\circ — 2 \cos 48^\circ \cdot \cos 36^\circ

Вынесение общего множителя:

В обоих слагаемых есть общий множитель 2cos⁡36∘2 \cos 36^\circ, вынесем его за скобки:

2cos⁡36∘⋅(cos⁡12∘−cos⁡48∘)2 \cos 36^\circ \cdot (\cos 12^\circ — \cos 48^\circ)

Использование формулы для разности косинусов:

Применим формулу для разности косинусов:

cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡(A+B2)⋅sin⁡(A−B2)\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)

Применяем к cos⁡12∘−cos⁡48∘\cos 12^\circ — \cos 48^\circ:

cos⁡12∘−cos⁡48∘=−2sin⁡(12∘+48∘2)⋅sin⁡(12∘−48∘2)\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = -2 \sin \left( \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \right) =−2sin⁡30∘⋅sin⁡(−18∘)= -2 \sin 30^\circ \cdot \sin (-18^\circ) =2sin⁡30∘⋅sin⁡18∘(поскольку sin⁡(−x)=−sin⁡(x))= 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ \quad (\text{поскольку } \sin(-x) = -\sin(x))

Подстановка:

Подставляем в исходное выражение:

2cos⁡36∘⋅2sin⁡30∘⋅sin⁡18∘2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ

Упрощение:

Так как sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, получаем:

2cos⁡36∘⋅2⋅12⋅sin⁡18∘=2cos⁡36∘⋅sin⁡18∘2 \cos 36^\circ \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = 2 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ

Использование тригонометрической идентичности:

Мы знаем, что:

cos⁡36∘⋅sin⁡18∘=12sin⁡72∘\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ = \frac{1}{2} \sin 72^\circ

Подставляем это в выражение:

2⋅12sin⁡72∘=sin⁡72∘2 \cdot \frac{1}{2} \sin 72^\circ = \sin 72^\circ

Завершающий шаг:

В итоге:

sin⁡72∘2sin⁡72∘=12\frac{\sin 72^\circ}{2 \sin 72^\circ} = \frac{1}{2}

Ответ: 12\frac{1}{2}

б)

Задано выражение:

tg⁡9∘−tg⁡63∘+tg⁡81∘−tg⁡27∘\tg 9^\circ — \tg 63^\circ + \tg 81^\circ — \tg 27^\circ

Группировка:

Разбиваем выражение на два блока:

(tg⁡9∘+tg⁡81∘)−(tg⁡63∘+tg⁡27∘)(\tg 9^\circ + \tg 81^\circ) — (\tg 63^\circ + \tg 27^\circ)

Использование формулы для суммы тангенсов:

Формула для суммы тангенсов:

tg⁡A+tg⁡B=sin⁡A⋅cos⁡B+sin⁡B⋅cos⁡Acos⁡A⋅cos⁡B\tg A + \tg B = \frac{\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A}{\cos A \cdot \cos B}

Применяем эту формулу к первым двум тангенсам:

tg⁡9∘+tg⁡81∘=sin⁡9∘⋅cos⁡81∘+sin⁡81∘⋅cos⁡9∘cos⁡9∘⋅cos⁡81∘\tg 9^\circ + \tg 81^\circ = \frac{\sin 9^\circ \cdot \cos 81^\circ + \sin 81^\circ \cdot \cos 9^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \cos 81^\circ} =sin⁡(9∘+81∘)cos⁡9∘⋅cos⁡(90∘−9∘)= \frac{\sin (9^\circ + 81^\circ)}{\cos 9^\circ \cdot \cos (90^\circ — 9^\circ)} =sin⁡90∘cos⁡9∘⋅sin⁡9∘=1cos⁡9∘⋅sin⁡9∘= \frac{\sin 90^\circ}{\cos 9^\circ \cdot \sin 9^\circ} = \frac{1}{\cos 9^\circ \cdot \sin 9^\circ}

Точно так же для вторых двух тангенсов:

tg⁡63∘+tg⁡27∘=sin⁡63∘⋅cos⁡27∘+sin⁡27∘⋅cos⁡63∘cos⁡63∘⋅cos⁡27∘\tg 63^\circ + \tg 27^\circ = \frac{\sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ + \sin 27^\circ \cdot \cos 63^\circ}{\cos 63^\circ \cdot \cos 27^\circ} =sin⁡(63∘+27∘)cos⁡(90∘−27∘)⋅cos⁡27∘= \frac{\sin (63^\circ + 27^\circ)}{\cos (90^\circ — 27^\circ) \cdot \cos 27^\circ} =sin⁡90∘sin⁡27∘⋅cos⁡27∘=1sin⁡27∘⋅cos⁡27∘= \frac{\sin 90^\circ}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} = \frac{1}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ}

Подстановка и упрощение:

Подставляем выражения в исходную формулу:

=10.5sin⁡18∘−10.5sin⁡54∘= \frac{1}{0.5 \sin 18^\circ} — \frac{1}{0.5 \sin 54^\circ}

Умножаем числители и знаменатели на 2:

=2sin⁡18∘−2sin⁡54∘= \frac{2}{\sin 18^\circ} — \frac{2}{\sin 54^\circ}

Использование формулы для разности синусов:

Применяем формулу для разности синусов:

sin⁡A−sin⁡B=2sin⁡(A−B2)⋅cos⁡(A+B2)\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)

Применяем её к sin⁡54∘−sin⁡18∘\sin 54^\circ — \sin 18^\circ:

sin⁡54∘−sin⁡18∘=2sin⁡(54∘−18∘2)⋅cos⁡(54∘+18∘2)\sin 54^\circ — \sin 18^\circ = 2 \sin \left( \frac{54^\circ — 18^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{54^\circ + 18^\circ}{2} \right) =2sin⁡18∘⋅cos⁡36∘= 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ

Подстановка:

Подставляем это в исходное выражение:

2⋅2sin⁡18∘⋅cos⁡36∘sin⁡18∘⋅sin⁡54∘=4sin⁡18∘⋅cos⁡36∘sin⁡18∘⋅cos⁡36∘\frac{2 \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \cdot \sin 54^\circ} = \frac{4 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}

Упрощение:

После сокращения sin⁡18∘⋅cos⁡36∘\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ остается:

44

Ответ: 44

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
4.8 / 5
Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Другие предметы
Алгебра
7-10 класс
7 10 10