ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте равенство:

a) sin35° + sin25° = cos5°;

б) sin40° + cos70° = cos10°;

в) cos12° — cos48° = sin18°;

г) cos20° — sin50° = sin10°.

Проверить равенство:

а) $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$;

$$2 \sin \frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cdot \cos \frac{35^\circ — 25^\circ}{2} = \cos 5^\circ;$$ $$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$\cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$

Ответ: верно.

б) $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ$;

$$\cos 70^\circ — \cos 10^\circ = -\sin 40^\circ;$$ $$-2 \sin \frac{70^\circ + 10^\circ}{2} \cdot \sin \frac{70^\circ — 10^\circ}{2} = -\sin 40^\circ;$$ $$-2 \sin 40^\circ \cdot \sin 30^\circ = -\sin 40^\circ;$$ $$-2 \sin 40^\circ \cdot \frac{1}{2} = -\sin 40^\circ;$$ $$-\sin 40^\circ = -\sin 40^\circ;$$

Ответ: верно.

в) $\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$;

$$-2 \sin \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \cdot \sin \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} = \sin 18^\circ;$$ $$-2 (-\sin 18^\circ) \cdot \sin 30^\circ = \sin 18^\circ;$$ $$2 \sin 18^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 18^\circ;$$ $$\sin 18^\circ = \sin 18^\circ;$$

Ответ: верно.

г) $\cos 20^\circ — \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$;

$$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = \cos 20^\circ;$$ $$2 \sin \frac{50^\circ + 10^\circ}{2} \cdot \cos \frac{50^\circ — 10^\circ}{2} = \cos 20^\circ;$$ $$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ = \cos 20^\circ;$$ $$\cos 20^\circ = \cos 20^\circ;$$

Ответ: верно.

а) $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$

Для решения воспользуемся формулой суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Применим её к выражению $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ$:

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin \left( \frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{35^\circ — 25^\circ}{2} \right)$$

Теперь вычислим значения в скобках:

$$\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{35^\circ — 25^\circ}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ$$

Известно, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$$

Мы получаем, что:

$$\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$$

Ответ: верно.

б) $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ$

Рассмотрим выражение $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ$. Мы можем использовать известную тригонометрическую тождественность:

$$\cos 70^\circ = \sin (90^\circ — 70^\circ) = \sin 20^\circ$$

Таким образом, преобразуем выражение:

$$\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \sin 40^\circ + \sin 20^\circ$$

Теперь применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

В нашем случае $A = 40^\circ$ и $B = 20^\circ$, подставим эти значения:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin \left( \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{40^\circ — 20^\circ}{2} \right)$$

Вычислим значения в скобках:

$$\frac{40^\circ + 20^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{40^\circ — 20^\circ}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$$

Подставим в выражение:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ$$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то:

$$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$$

Мы получаем:

$$\cos 10^\circ = \cos 10^\circ$$

Ответ: верно.

в) $\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$

Для работы с разностью косинусов используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

Применим эту формулу к выражению $\cos 12^\circ — \cos 48^\circ$:

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = -2 \sin \left( \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \right)$$

Вычислим значения в скобках:

$$\frac{12^\circ + 48^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{12^\circ — 48^\circ}{2} = \frac{-36^\circ}{2} = -18^\circ$$

Подставляем в выражение:

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = -2 \sin 30^\circ \cdot \sin (-18^\circ)$$

Известно, что $\sin (-\theta) = -\sin \theta$, поэтому:

$$-2 \sin 30^\circ \cdot (-\sin 18^\circ) = 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ$$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то:

$$2 \sin 30^\circ \cdot \sin 18^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = \sin 18^\circ$$

Мы получаем:

$$\sin 18^\circ = \sin 18^\circ$$

Ответ: верно.

г) $\cos 20^\circ — \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$

Для работы с выражением $\cos 20^\circ — \sin 50^\circ$ воспользуемся преобразованием для суммы синуса и косинуса:

$$\cos A — \sin B = \sin \left( 90^\circ — A \right) — \sin B$$

Однако проще будет использовать другой способ, сначала выразив $\sin 50^\circ$ через $\cos$:

$$\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$$

Теперь исходное выражение:

$$\cos 20^\circ — \sin 50^\circ = \cos 20^\circ — \cos 40^\circ$$

Для разности косинусов снова применим формулу:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

Применяем её к нашему выражению:

$$\cos 20^\circ — \cos 40^\circ = -2 \sin \left( \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} \right)$$

Вычислим значения в скобках:

$$\frac{20^\circ + 40^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{20^\circ — 40^\circ}{2} = \frac{-20^\circ}{2} = -10^\circ$$

Подставляем в выражение:

$$\cos 20^\circ — \cos 40^\circ = -2 \sin 30^\circ \cdot \sin (-10^\circ)$$

Известно, что $\sin (-\theta) = -\sin \theta$, поэтому:

$$-2 \sin 30^\circ \cdot (-\sin 10^\circ) = 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 10^\circ$$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то:

$$2 \sin 30^\circ \cdot \sin 10^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ = \sin 10^\circ$$

Мы получаем:

$$\sin 10^\circ = \sin 10^\circ$$

Ответ: верно.