ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте равенство:

a) sin20° + sin40° — cos10° = 0;

б) cos85° + cos35° — cos25° = 0.

Проверить равенство:

a) $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ — \cos 10^\circ = 0$;

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = \cos 10^\circ;$$ $$2 \sin \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \cdot \cos \frac{40^\circ — 20^\circ}{2} = \cos 10^\circ;$$ $$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cos 10^\circ = \cos 10^\circ;$$ $$\cos 10^\circ = \cos 10^\circ;$$

Ответ: верно.

б) $\cos 85^\circ + \cos 35^\circ — \cos 25^\circ = 0$;

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = \cos 25^\circ;$$ $$2 \cos \frac{85^\circ + 35^\circ}{2} \cdot \cos \frac{85^\circ — 35^\circ}{2} = \cos 25^\circ;$$ $$2 \cos 60^\circ \cdot \cos 25^\circ = \cos 25^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cos 25^\circ = \cos 25^\circ;$$ $$\cos 25^\circ = \cos 25^\circ;$$

Ответ: верно.

а) $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ — \cos 10^\circ = 0$

Нам нужно проверить, верно ли следующее равенство:

$$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ — \cos 10^\circ = 0$$

Для начала мы применим формулу для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = 40^\circ$ и $B = 20^\circ$:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin \left( \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{40^\circ — 20^\circ}{2} \right)$$

Вычислим:

$$\frac{40^\circ + 20^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{40^\circ — 20^\circ}{2} = 10^\circ$$

Теперь подставляем эти значения в формулу:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ$$

Мы знаем, что:

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

Подставляем это значение:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = \cos 10^\circ$$

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ — \cos 10^\circ = 0$$

Так как $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ = \cos 10^\circ$, то:

$$\cos 10^\circ — \cos 10^\circ = 0$$

Таким образом, равенство верно.

Ответ: верно.

б) $\cos 85^\circ + \cos 35^\circ — \cos 25^\circ = 0$

Теперь проверим следующее равенство:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ — \cos 25^\circ = 0$$

Для начала воспользуемся формулой для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = 85^\circ$ и $B = 35^\circ$:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = 2 \cos \left( \frac{85^\circ + 35^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{85^\circ — 35^\circ}{2} \right)$$

Вычислим:

$$\frac{85^\circ + 35^\circ}{2} = 60^\circ$$ $$\frac{85^\circ — 35^\circ}{2} = 25^\circ$$

Теперь подставляем эти значения в формулу:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 25^\circ$$

Мы знаем, что:

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

Подставляем это значение:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 25^\circ = \cos 25^\circ$$

Таким образом, мы получаем:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = \cos 25^\circ$$

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ — \cos 25^\circ = 0$$

Так как $\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = \cos 25^\circ$, то:

$$\cos 25^\circ — \cos 25^\circ = 0$$

Таким образом, равенство верно.

Ответ: верно.