ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

a) cos15° + cos45°;

б) cos46° — cos74°;

в) cos20° + cos40°;

г) cos75° — cos15°.

Представить в виде произведения:

а) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos \frac{15^\circ + 45^\circ}{2} \cdot \cos \frac{15^\circ — 45^\circ}{2} =$
$= 2 \cos \frac{60^\circ}{2} \cdot \cos \left(-\frac{30^\circ}{2}\right) = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 15^\circ$;

б) $\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = -2 \sin \frac{46^\circ + 74^\circ}{2} \cdot \sin \frac{46^\circ — 74^\circ}{2} =$
$= -2 \sin \frac{120^\circ}{2} \cdot \sin \left(-\frac{28^\circ}{2}\right) = 2 \sin 60^\circ \cdot \sin 14^\circ$;

в) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} \cdot \cos \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} =$
$= 2 \cos \frac{60^\circ}{2} \cdot \cos \left(-\frac{20^\circ}{2}\right) = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 10^\circ$;

г) $\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \sin \frac{75^\circ — 15^\circ}{2} =$
$= -2 \sin \frac{90^\circ}{2} \cdot \sin \frac{60^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ$;

Для преобразования выражений в произведения будем использовать следующие тригонометрические тождества:

• Тождество для суммы косинусов:

  $$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• Тождество для разности косинусов:

  $$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Теперь применим эти тождества для каждого из пунктов задачи.

а) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$

Мы используем тождество для суммы косинусов:

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos \left( \frac{15^\circ + 45^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{15^\circ — 45^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{15^\circ + 45^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\frac{15^\circ — 45^\circ}{2} = \frac{-30^\circ}{2} = -15^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos (-15^\circ).$$

Используя свойство косинуса $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, получаем:

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 15^\circ.$$

Ответ для пункта (а):

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 15^\circ.$$

б) $\cos 46^\circ — \cos 74^\circ$

Мы используем тождество для разности косинусов:

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = -2 \sin \left( \frac{46^\circ + 74^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{46^\circ — 74^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{46^\circ + 74^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
• $\frac{46^\circ — 74^\circ}{2} = \frac{-28^\circ}{2} = -14^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = -2 \sin 60^\circ \cdot \sin (-14^\circ).$$

Используя свойство синуса $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, получаем:

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = 2 \sin 60^\circ \cdot \sin 14^\circ.$$

Ответ для пункта (б):

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = 2 \sin 60^\circ \cdot \sin 14^\circ.$$

в) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$

Мы используем тождество для суммы косинусов:

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos \left( \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{20^\circ + 40^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\frac{20^\circ — 40^\circ}{2} = \frac{-20^\circ}{2} = -10^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos (-10^\circ).$$

Используя свойство косинуса $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, получаем:

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 10^\circ.$$

Ответ для пункта (в):

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 10^\circ.$$

г) $\cos 75^\circ — \cos 15^\circ$

Мы используем тождество для разности косинусов:

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin \left( \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{75^\circ — 15^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
• $\frac{75^\circ — 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ.$$

Ответ для пункта (г):

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ.$$

Итоговые результаты:

а) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 15^\circ$

б) $\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = 2 \sin 60^\circ \cdot \sin 14^\circ$

в) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 10^\circ$

г) $\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ$