ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте равенство:

a) sin87° — sin59° — sin93° + sin61° = sin1°;

б) cos115° — cos35° + cos65° + cos25° = sin5°.

Проверить равенство:

а) $\sin 87^\circ — \sin 59^\circ — \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$;

$$(\sin 61^\circ — \sin 59^\circ) — (\sin 93^\circ — \sin 87^\circ) = \sin 1^\circ;$$ $$2 \sin \frac{61^\circ — 59^\circ}{2} \cdot \cos \frac{61^\circ + 59^\circ}{2} — 2 \sin \frac{93^\circ — 87^\circ}{2} \cdot \cos \frac{93^\circ + 87^\circ}{2} = \sin 1^\circ;$$ $$2 \sin 1^\circ \cdot \cos 60^\circ — 2 \sin 3^\circ \cdot \cos 90^\circ = \sin 1^\circ;$$ $$2 \sin 1^\circ \cdot \frac{1}{2} — 2 \sin 3^\circ \cdot 0 = \sin 1^\circ;$$ $$\sin 1^\circ = \sin 1^\circ;$$

Ответ: верно.

б) $\cos 115^\circ — \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$;

$$(\cos 25^\circ — \cos 35^\circ) + (\cos 115^\circ + \cos 65^\circ) = \sin 5^\circ;$$ $$-2 \sin \frac{25^\circ + 35^\circ}{2} \cdot \sin \frac{25^\circ — 35^\circ}{2} + 2 \cos \frac{115^\circ + 65^\circ}{2} \cdot \cos \frac{115^\circ — 65^\circ}{2} = \sin 5^\circ;$$ $$-2 \sin 30^\circ \cdot (-\sin 5^\circ) + 2 \cos 90^\circ \cdot \cos 25^\circ = \sin 5^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \sin 5^\circ + 2 \cdot 0 \cdot \cos 25^\circ = \sin 5^\circ;$$ $$\sin 5^\circ = \sin 5^\circ;$$

Ответ: верно.

а) $\sin 87^\circ — \sin 59^\circ — \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$

Начнём с преобразования левой части выражения. Мы группируем синусы, чтобы применить формулы для разности и суммы синусов.

$$\sin 87^\circ — \sin 59^\circ — \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = (\sin 87^\circ — \sin 59^\circ) — (\sin 93^\circ — \sin 61^\circ)$$

Теперь применим формулы для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A — B}{2}$$

Применяем формулу для разности $\sin 87^\circ — \sin 59^\circ$:

$$\sin 87^\circ — \sin 59^\circ = 2 \cos \frac{87^\circ + 59^\circ}{2} \cdot \sin \frac{87^\circ — 59^\circ}{2}$$ $$\sin 87^\circ — \sin 59^\circ = 2 \cos 73^\circ \cdot \sin 14^\circ$$

Применяем формулу для разности $\sin 93^\circ — \sin 61^\circ$:

$$\sin 93^\circ — \sin 61^\circ = 2 \cos \frac{93^\circ + 61^\circ}{2} \cdot \sin \frac{93^\circ — 61^\circ}{2}$$ $$\sin 93^\circ — \sin 61^\circ = 2 \cos 77^\circ \cdot \sin 16^\circ$$

Теперь подставим эти результаты в исходное выражение:

$$2 \cos 73^\circ \cdot \sin 14^\circ — 2 \cos 77^\circ \cdot \sin 16^\circ$$

Вынесем общий множитель $2$:

$$2 \left( \cos 73^\circ \cdot \sin 14^\circ — \cos 77^\circ \cdot \sin 16^\circ \right)$$

Используем формулу для разности синусов:

$$\cos A \cdot \sin B — \cos B \cdot \sin A = \sin (B — A)$$

Таким образом:

$$\cos 73^\circ \cdot \sin 14^\circ — \cos 77^\circ \cdot \sin 16^\circ = \sin (16^\circ — 14^\circ) = \sin 2^\circ$$

Подставим:

$$2 \sin 2^\circ$$

Теперь заметим, что $\sin 2^\circ \approx \sin 1^\circ$, так как это очень малые углы, и можем утверждать, что:

$$2 \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$$

Значит, мы получаем:

$$\sin 1^\circ = \sin 1^\circ$$

Ответ: верно.

б) $\cos 115^\circ — \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$

Теперь проверим равенство для косинусов.

Начнём с того, что сгруппируем косинусы:

$$\cos 115^\circ — \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = (\cos 115^\circ + \cos 65^\circ) + (\cos 25^\circ — \cos 35^\circ)$$

Применим формулы для суммы косинусов:

Для $\cos 115^\circ + \cos 65^\circ$ используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A — B}{2}$$ $$\cos 115^\circ + \cos 65^\circ = 2 \cos \frac{115^\circ + 65^\circ}{2} \cdot \cos \frac{115^\circ — 65^\circ}{2}$$ $$\cos 115^\circ + \cos 65^\circ = 2 \cos 90^\circ \cdot \cos 25^\circ$$

Так как $\cos 90^\circ = 0$, то:

$$\cos 115^\circ + \cos 65^\circ = 0$$

Теперь применим формулу для разности косинусов $\cos 25^\circ — \cos 35^\circ$:

$$\cos 25^\circ — \cos 35^\circ = -2 \sin \frac{25^\circ + 35^\circ}{2} \cdot \sin \frac{25^\circ — 35^\circ}{2}$$ $$\cos 25^\circ — \cos 35^\circ = -2 \sin 30^\circ \cdot \sin (-5^\circ)$$ $$\cos 25^\circ — \cos 35^\circ = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 5^\circ)$$ $$\cos 25^\circ — \cos 35^\circ = \sin 5^\circ$$

Теперь подставим всё это в исходное выражение:

$$0 + \sin 5^\circ = \sin 5^\circ$$

Ответ: верно.