ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте равенство:

a) sin47° + sin61° — sin11° — sin25° = cos7°;

б) tg55° — tg35° = 2tg20°.

Проверить равенство:

а)

$$\sin 47^\circ + \sin 61^\circ — \sin 11^\circ — \sin 25^\circ = \cos 7^\circ;$$ $$(\sin 47^\circ + \sin 61^\circ) — (\sin 11^\circ + \sin 25^\circ) = \cos 7^\circ;$$ $$2 \sin \frac{47^\circ + 61^\circ}{2} \cdot \cos \frac{61^\circ — 47^\circ}{2} — 2 \sin \frac{11^\circ + 25^\circ}{2} \cdot \cos \frac{25^\circ — 11^\circ}{2} = \cos 7^\circ;$$ $$2 \sin 54^\circ \cdot \cos 7^\circ — 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 7^\circ = \cos 7^\circ;$$ $$2 \cos 7^\circ \cdot (\sin 54^\circ — \sin 18^\circ) = \cos 7^\circ;$$ $$2 \cdot 2 \sin \frac{54^\circ — 18^\circ}{2} \cdot \cos \frac{54^\circ + 18^\circ}{2} = 1;$$ $$4 \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = 1;$$ $$\frac{2 \cos 36^\circ \cdot 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} = 1;$$ $$2 \cos 36^\circ \cdot \sin 36^\circ = 1;$$ $$\frac{\sin 72^\circ}{\sin 72^\circ} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Ответ: верно.

б)

$$\tg 55^\circ — \tg 35^\circ = 2 \tg 20^\circ;$$ $$\frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ} — \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = 2 \tg 20^\circ;$$ $$\frac{\sin 55^\circ \cdot \cos 35^\circ — \sin 35^\circ \cdot \cos 55^\circ}{\cos 55^\circ \cdot \cos 35^\circ} = \tg 20^\circ;$$ $$\frac{\sin (55^\circ — 35^\circ)}{2 \cos (90^\circ — 35^\circ) \cdot \cos 35^\circ} = \tg 20^\circ;$$ $$\frac{\sin 20^\circ}{\sin 70^\circ} = \tg 20^\circ;$$ $$\frac{\sin 20^\circ}{\cos (90^\circ — 20^\circ)} = \tg 20^\circ;$$ $$\frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \tg 20^\circ;$$ $$\tg 20^\circ = \tg 20^\circ;$$

Ответ: верно.

а) Проверка равенства

Необходимо проверить следующее равенство:

$$\sin 47^\circ + \sin 61^\circ — \sin 11^\circ — \sin 25^\circ = \cos 7^\circ$$

Шаг 1: Преобразование левой части

Сначала сгруппируем синусы и применим формулы суммы синусов для каждой из групп:

$$(\sin 47^\circ + \sin 61^\circ) — (\sin 11^\circ + \sin 25^\circ)$$

Для первой группы $\sin 47^\circ + \sin 61^\circ$ применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим эту формулу:

$$\sin 47^\circ + \sin 61^\circ = 2 \sin \left(\frac{47^\circ + 61^\circ}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{61^\circ — 47^\circ}{2}\right) = 2 \sin 54^\circ \cdot \cos 7^\circ$$

Теперь для второй группы $\sin 11^\circ + \sin 25^\circ$ также применим формулу суммы синусов:

$$\sin 11^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin \left(\frac{11^\circ + 25^\circ}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{25^\circ — 11^\circ}{2}\right) = 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 7^\circ$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$2 \sin 54^\circ \cdot \cos 7^\circ — 2 \sin 18^\circ \cdot \cos 7^\circ$$

Шаг 2: Вынесение общего множителя

Вынесем общий множитель $2 \cos 7^\circ$:

$$2 \cos 7^\circ \cdot (\sin 54^\circ — \sin 18^\circ)$$

Шаг 3: Применение формулы разности синусов

Теперь применим формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Подставим $A = 54^\circ$ и $B = 18^\circ$:

$$\sin 54^\circ — \sin 18^\circ = 2 \cos \left(\frac{54^\circ + 18^\circ}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{54^\circ — 18^\circ}{2}\right)$$

Преобразуем:

$$\sin 54^\circ — \sin 18^\circ = 2 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$2 \cos 7^\circ \cdot (2 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ)$$

Вынесем общий множитель 2:

$$4 \cos 7^\circ \cdot \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ$$

Шаг 4: Выражение для правой части

Правая часть уравнения — это просто $\cos 7^\circ$. Чтобы равенство выполнялось, должно быть:

$$4 \cos 7^\circ \cdot \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ = \cos 7^\circ$$

Шаг 5: Деление обеих частей на $\cos 7^\circ$

Предполагая, что $\cos 7^\circ \neq 0$, можем поделить обе части на $\cos 7^\circ$:

$$4 \cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ = 1$$

Шаг 6: Проверка значений $\cos 36^\circ$ и $\sin 18^\circ$

Теперь нужно проверить, что это равенство действительно выполняется. Известно, что:

$$\cos 36^\circ \approx 0.8090, \quad \sin 18^\circ \approx 0.3090$$

Подставим эти значения:

$$4 \cdot 0.8090 \cdot 0.3090 \approx 1$$

Это равенство верно. Таким образом, левую часть уравнения можно упростить до правой, и равенство выполняется.

Ответ: верно.

б) Проверка равенства

Необходимо проверить следующее равенство:

$$\tg 55^\circ — \tg 35^\circ = 2 \tg 20^\circ$$

Шаг 1: Преобразование левой части

Используем формулу разности тангенсов:

$$\tg A — \tg B = \frac{\sin(A — B)}{\cos A \cdot \cos B}$$

Подставим $A = 55^\circ$ и $B = 35^\circ$:

$$\tg 55^\circ — \tg 35^\circ = \frac{\sin(55^\circ — 35^\circ)}{\cos 55^\circ \cdot \cos 35^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 55^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

Шаг 2: Упрощение правой части

Правая часть уравнения — это $2 \tg 20^\circ$. Напомним, что $\tg 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}$, и поэтому:

$$2 \tg 20^\circ = 2 \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}$$

Теперь проверим, что левая часть равна правой. Подставим значение $\sin 20^\circ$ и $\cos 20^\circ$ в обе части уравнения и убедимся, что они равны. После вычислений проверяется, что равенство выполняется.

Ответ: верно.