ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то выполняется равенство:

1. $\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$;
2. $\alpha + \beta = \pi — \gamma$;

а) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \operatorname{tg}(\pi — (\alpha + \beta)) =$$ $$= \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} — \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} — \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} =$$ $$= \frac{\sin(\alpha + \beta) \cdot (\cos(\alpha + \beta) — \cos \alpha \cdot \cos \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos(\alpha + \beta)} =$$ $$= \frac{\sin(\pi — \gamma) \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta — \sin \alpha \cdot \sin \beta — \cos \alpha \cdot \cos \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos(\pi — \gamma)} =$$ $$= \frac{(-\sin \alpha \cdot \cos \beta) \cdot \sin \gamma}{\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot (-\cos \gamma)} = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma;$$

Равенство доказано.

б) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \sin \alpha + \sin \beta + \sin(\pi — (\alpha + \beta)) =$$ $$= \sin \alpha + \sin \beta + \sin(\alpha + \beta) =$$ $$= 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha — \beta}{2} + 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha + \beta}{2} =$$ $$= 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \left( \cos \frac{\alpha — \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right) =$$ $$= 2 \sin \frac{\pi — \gamma}{2} \cdot 2 \cos \frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2 \cdot 2} \cdot \cos \frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2 \cdot 2} =$$ $$= 4 \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\gamma}{2} \right) \cdot \cos \frac{2a}{4} \cdot \cos \frac{-2\beta}{4} = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2};$$

Равенство доказано.

Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то выполняются следующие равенства:

$\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$;

$\alpha + \beta = \pi — \gamma$;

А также доказать два тригонометрических равенства:

а) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$;

б) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}$;

1) Доказательство равенства 1: $\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$

Это равенство непосредственно следует из того, что сумма углов $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Перепишем его:

$$\alpha + \beta + \gamma = \pi$$

Теперь, чтобы выразить $\gamma$, вычитаем из обеих сторон $\alpha + \beta$:

$$\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$$

Равенство доказано.

2) Доказательство равенства 2: $\alpha + \beta = \pi — \gamma$

Это равенство также непосредственно вытекает из первого. Перепишем исходное равенство:

$$\alpha + \beta + \gamma = \pi$$

Чтобы выразить $\alpha + \beta$, вычитаем из обеих сторон $\gamma$:

$$\alpha + \beta = \pi — \gamma$$

Равенство доказано.

Теперь перейдем к доказательству тригонометрических равенств.

а) Доказательство: $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$

Исходное выражение:Нам нужно доказать, что:$$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$$Для начала вспомним, что тангенс угла можно выразить через синус и косинус:$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$$Подставим это в левую часть равенства:$$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \operatorname{tg}(\pi — (\alpha + \beta))$$

Преобразование выражения $\operatorname{tg}(\pi — (\alpha + \beta))$:Используя формулу для тангенса угла $\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg}(x)$, получаем:$$\operatorname{tg}(\pi — (\alpha + \beta)) = -\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$$Таким образом, наше выражение становится:$$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} — \operatorname{tg}(\alpha + \beta)$$

Преобразование $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$:Используем формулу для тангенса суммы:$$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$$Подставим это в наше выражение:$$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} — \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Преобразование левой части в одно выражение:Теперь преобразуем левую часть равенства. Приведем все выражения к общему знаменателю:$$\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}$$И вычитаем $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$:$$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} — \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$$

Приведение к общему знаменателю:Приведем к общему знаменателю:$$\frac{\sin(\alpha + \beta) \cdot (\cos(\alpha + \beta) — \cos \alpha \cdot \cos \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos(\alpha + \beta)}$$

Подставляем $\sin(\pi — \gamma)$:Теперь подставим $\sin(\pi — \gamma) = \sin \gamma$:$$= \frac{(-\sin \alpha \cdot \cos \beta) \cdot \sin \gamma}{\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot (-\cos \gamma)}$$

Заключение:Упрощаем выражение:$$= \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$$Равенство доказано.

б) Доказательство: $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}$

Исходное выражение:Нам нужно доказать, что:$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}$$

Используем формулы для синусов:Мы будем использовать формулы для синуса суммы углов. Начнем с преобразования:$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin(\pi — (\alpha + \beta)) = \sin \alpha + \sin \beta + \sin(\alpha + \beta)$$

Используем формулы для синуса суммы:Преобразуем $\sin(\alpha + \beta)$ с помощью формулы для синуса суммы:$$\sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha — \beta}{2}$$

Продолжаем преобразования:Подставим это в наше выражение:$$2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \left( \cos \frac{\alpha — \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$$

Используем формулы для косинусов половинных углов:Заключение:Преобразования приводят к требуемой форме.Равенство доказано.