ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) cosх + cosЗх = 0;

б) sin12х + sin4х = 0;

в) cosх = cos5х;

г) sin3х = sin17х.

а)

$$\cos x + \cos 3x = 0;$$ $$2 \cos \frac{x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} = 0;$$ $$\cos 2x \cdot \cos x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б)

$$\sin 12x + \sin 4x = 0;$$ $$2 \sin \frac{12x + 4x}{2} \cdot \cos \frac{12x — 4x}{2} = 0;$$ $$\sin 8x \cdot \cos 4x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 8x = 0;$$ $$8x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{8};$$

Второе уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi + 2\pi n}{8};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{8}.$$

в)

$$\cos x = \cos 5x;$$ $$\cos 5x — \cos x = 0;$$ $$-2 \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \sin \frac{5x — x}{2} = 0;$$ $$\sin 3x \cdot \sin 2x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{3}; \quad \frac{\pi n}{2}.$$

г)

$$\sin 3x = \sin 17x;$$ $$\sin 17x — \sin 3x = 0;$$ $$2 \sin \frac{17x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{17x + 3x}{2} = 0;$$ $$\sin 7x \cdot \cos 10x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 7x = 0;$$ $$7x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{7};$$

Второе уравнение:

$$\cos 10x = 0;$$ $$10x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{7}; \quad \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}.$$

а) $\cos x + \cos 3x = 0$

Мы должны решить уравнение $\cos x + \cos 3x = 0$.

Шаг 1: Применение формулы для суммы косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем её к нашему выражению, где $A = x$ и $B = 3x$:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right)$$

Преобразуем:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x.$$

Заменяем это в исходном уравнении:

$$2 \cos 2x \cos x = 0.$$

Шаг 2: Разбор решения

Теперь у нас есть произведение двух косинусов. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 0.$$

Решение для $\cos 2x = 0$:

$$\cos 2x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{(где \(n\) — целое число)}.$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Решение для $\cos x = 0$:

$$\cos x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Шаг 3: Итоговое решение

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$

Нам нужно решить уравнение $\sin 12x + \sin 4x = 0$.

Шаг 1: Применение формулы для суммы синусов

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем её к нашему выражению, где $A = 12x$ и $B = 4x$:

$$\sin 12x + \sin 4x = 2 \sin \left( \frac{12x + 4x}{2} \right) \cos \left( \frac{12x — 4x}{2} \right)$$

Преобразуем:

$$\sin 12x + \sin 4x = 2 \sin 8x \cos 4x.$$

Заменяем это в исходном уравнении:

$$2 \sin 8x \cos 4x = 0.$$

Шаг 2: Разбор решения

Теперь у нас есть произведение двух выражений. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin 8x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 4x = 0.$$

Решение для $\sin 8x = 0$:

$$\sin 8x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$8x = \pi n \quad \text{(где \(n\) — целое число)}.$$

Разделим обе части на 8:

$$x = \frac{\pi n}{8}.$$

Решение для $\cos 4x = 0$:

$$\cos 4x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi + 2\pi n}{8}.$$

Шаг 3: Итоговое решение

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{8}.$$

в) $\cos x = \cos 5x$

Нам нужно решить уравнение $\cos x = \cos 5x$.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Используем свойство косинусов:

$$\cos A = \cos B \quad \text{если} \quad A = B + 2\pi n \quad \text{или} \quad A = -B + 2\pi n.$$

Применим это к нашему уравнению:

$$x = 5x + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -5x + 2\pi n.$$

Решение для $x = 5x + 2\pi n$:

$$x — 5x = 2\pi n,$$ $$-4x = 2\pi n,$$ $$x = -\frac{\pi n}{2}.$$

Решение для $x = -5x + 2\pi n$:

$$x + 5x = 2\pi n,$$ $$6x = 2\pi n,$$ $$x = \frac{\pi n}{3}.$$

Шаг 2: Итоговое решение

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi n}{2}.$$

г) $\sin 3x = \sin 17x$

Нам нужно решить уравнение $\sin 3x = \sin 17x$.

Шаг 1: Применение формулы для разности синусов

Используем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим её к нашему выражению:

$$\sin 17x — \sin 3x = 0.$$

По формуле:

$$2 \cos \left( \frac{17x + 3x}{2} \right) \sin \left( \frac{17x — 3x}{2} \right) = 0.$$

Преобразуем:

$$2 \cos 10x \sin 7x = 0.$$

Теперь у нас есть произведение двух выражений. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin 7x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 10x = 0.$$

Решение для $\sin 7x = 0$:

$$\sin 7x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$7x = \pi n \quad \text{(где \(n\) — целое число)}.$$

Разделим обе части на 7:

$$x = \frac{\pi n}{7}.$$

Решение для $\cos 10x = 0$:

$$\cos 10x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$10x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Разделим обе части на 10:

$$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}.$$

Шаг 2: Итоговое решение

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{7}; \quad x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}.$$