ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите уравнение:

a) sinх + sin3x + cosx + cos3x = 0;

б) sin5x + sinx + 2 sin²x = 1.

Краткий ответ:

a)

$\sin x + \sin 3 x + \cos x + \cos 3 x = 0;$ $2 \sin \frac{x + 3 x}{2} \cdot \cos \frac{3 x - x}{2} + 2 \cos \frac{x + 3 x}{2} \cdot \cos \frac{3 x - x}{2} = 0;$ $2 \sin 2 x \cdot \cos x + 2 \cos 2 x \cdot \cos x = 0;$ $2 \cos x \cdot (\sin 2 x + \cos 2 x) = 0;$

Первое уравнение:

$\cos x = 0;$ $x = \frac{π}{2} + π n;$

Второе уравнение:

$\sin 2 x + \cos 2 x = 0 ∣ : \cos 2 x;$ $tg 2 x + 1 = 0;$ $tg 2 x = - 1;$ $2 x = arctg (- 1) + π n = - \frac{π}{4} + π n;$ $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2};$

Ответ:

$x = \frac{π}{2} + π n; x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2} .$

б)

$\sin 5 x + \sin x + 2 \sin^{2} x = 1;$ $2 \sin \frac{5 x + x}{2} \cdot \cos \frac{5 x - x}{2} + (1 - \cos 2 x) = 1;$ $2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x - \cos 2 x = 0;$ $\cos 2 x \cdot (2 \sin 3 x - 1) = 0;$

Первое уравнение:

$\cos 2 x = 0;$ $2 x = \frac{π}{2} + π n;$ $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2};$

Второе уравнение:

$2 \sin 3 x - 1 = 0;$ $2 \sin 3 x = 1;$ $\sin 3 x = \frac{1}{2};$ $3 x = (- 1)^{n} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + π n = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{6} + π n;$ $x = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{18} + \frac{π n}{3};$

Ответ:

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}; x = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{18} + \frac{π n}{3} .$

Подробный ответ:

a)

$\sin x + \sin 3 x + \cos x + \cos 3 x = 0$

Используем формулы для суммы синусов и косинусов.

Применим формулы для суммы синусов и косинусов:

$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2})$

и

$\cos a + \cos b = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2})$

Для $\sin x + \sin 3 x$ и $\cos x + \cos 3 x$ получаем:

$\sin x + \sin 3 x = 2 \sin (\frac{x + 3 x}{2}) \cos (\frac{3 x - x}{2}) = 2 \sin 2 x \cdot \cos x$

и

$\cos x + \cos 3 x = 2 \cos (\frac{x + 3 x}{2}) \cos (\frac{3 x - x}{2}) = 2 \cos 2 x \cdot \cos x$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2 \sin 2 x \cdot \cos x + 2 \cos 2 x \cdot \cos x = 0$

Вынесем $2 \cos x$ за скобки:

$2 \cos x \cdot (\sin 2 x + \cos 2 x) = 0$

Это уравнение равно нулю, если либо $2 \cos x = 0$ , либо $\sin 2 x + \cos 2 x = 0$ .

Решение первого уравнения:

$\cos x = 0$

Из этого следует, что:

$x = \frac{π}{2} + π n, n \in Z$

Это первое решение.

Решение второго уравнения:

$\sin 2 x + \cos 2 x = 0$

Разделим обе части на $\cos 2 x$ (предполагаем, что $\cos 2 x \neq 0$ ):

$\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} + 1 = 0$ $tg 2 x + 1 = 0$

Отсюда:

$tg 2 x = - 1$

Решение для $tg θ = - 1$ дается углом:

$2 x = arctg (- 1) + π n = - \frac{π}{4} + π n$

Таким образом:

$x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, n \in Z$

Итоговый ответ для (a):

Объединяя оба решения, получаем:

$x = \frac{π}{2} + π n; x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, n \in Z$

б)

$\sin 5 x + \sin x + 2 \sin^{2} x = 1$

Перепишем уравнение:

$\sin 5 x + \sin x + 2 \sin^{2} x = 1$

Для упрощения воспользуемся формулой для суммы синусов:

$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2})$

Применим это к $\sin 5 x + \sin x$ :

$\sin 5 x + \sin x = 2 \sin (\frac{5 x + x}{2}) \cos (\frac{5 x - x}{2}) = 2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x + 2 \sin^{2} x = 1$

Теперь подставим $2 \sin^{2} x = 1 - \cos 2 x$ (используем идентичность для $\sin^{2} x$ ):

$2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x + (1 - \cos 2 x) = 1$

Преобразуем:

$2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x - \cos 2 x = 0$

Вынесем $\cos 2 x$ :

$\cos 2 x \cdot (2 \sin 3 x - 1) = 0$

Решение первого уравнения:

$\cos 2 x = 0$

Это уравнение дает:

$2 x = \frac{π}{2} + π n, n \in Z$

Отсюда:

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, n \in Z$

Решение второго уравнения:

$2 \sin 3 x - 1 = 0$

Отсюда:

$2 \sin 3 x = 1 \Rightarrow \sin 3 x = \frac{1}{2}$

Решение уравнения $\sin θ = \frac{1}{2}$ дает:

$3 x = (- 1)^{n} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + π n = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{6} + π n$

Таким образом:

$x = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, n \in Z$

Итоговый ответ для (б):

Объединяя оба решения, получаем:

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}; x = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, n \in Z$

Оцени решение