ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) sinх + sin3x + cosx + cos3x = 0;

б) sin5x + sinx + 2 sin²x = 1.

a)

$$\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0;$$$$2\sin \frac{x+3x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2}+2\cos \frac{x+3x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2}=0;$$$$2\sin 2x\cdot \cos x+2\cos 2x\cdot \cos x=0;$$$$2\cos x\cdot (\sin 2x+\cos 2x)=0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x=0;$$$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x+\cos 2x=0\mathrm{\mid }:\cos 2x;$$$$\mathrm{tg}2x+1=0;$$$$\mathrm{tg}2x=-1;$$$$2x=\mathrm{arctg}(-1)+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

б)

$$\sin 5x+\sin x+2{\sin }^{2}x=1;$$$$2\sin \frac{5x+x}{2}\cdot \cos \frac{5x-x}{2}+(1-\cos 2x)=1;$$$$2\sin 3x\cdot \cos 2x-\cos 2x=0;$$$$\cos 2x\cdot (2\sin 3x-1)=0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x=0;$$$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$2\sin 3x-1=0;$$$$2\sin 3x=1;$$$$\sin 3x=\frac{1}{2};$$$$3x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n;$$$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{18}+\frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{18}+\frac{\pi n}{3}\mathrm{.}$$

a)

$$\sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0$$

Используем формулы для суммы синусов и косинусов.

Применим формулы для суммы синусов и косинусов:

$$\sin a+\sin b=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$$

и

$$\cos a+\cos b=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Для $\sin x+\sin 3x$ и $\cos x+\cos 3x$ получаем:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin \left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos \left(\frac{3x-x}{2}\right)=2\sin 2x\cdot \cos x$$

и

$$\cos x+\cos 3x=2\cos \left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos \left(\frac{3x-x}{2}\right)=2\cos 2x\cdot \cos x$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$2\sin 2x\cdot \cos x+2\cos 2x\cdot \cos x=0$$

Вынесем $2\cos x$ за скобки:

$$2\cos x\cdot (\sin 2x+\cos 2x)=0$$

Это уравнение равно нулю, если либо $2\cos x=0$, либо $\sin 2x+\cos 2x=0$.

Решение первого уравнения:

$$\cos x=0$$

Из этого следует, что:

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Это первое решение.

Решение второго уравнения:

$$\sin 2x+\cos 2x=0$$

Разделим обе части на $\cos 2x$ (предполагаем, что $\cos 2x\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+1=0$$$$\mathrm{tg}2x+1=0$$

Отсюда:

$$\mathrm{tg}2x=-1$$

Решение для $\mathrm{tg}\theta =-1$ дается углом:

$$2x=\mathrm{arctg}(-1)+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Таким образом:

$$x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$$

Итоговый ответ для (a):

Объединяя оба решения, получаем:

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sin 5x+\sin x+2{\sin }^{2}x=1$$

Перепишем уравнение:

$$\sin 5x+\sin x+2{\sin }^{2}x=1$$

Для упрощения воспользуемся формулой для суммы синусов:

$$\sin a+\sin b=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Применим это к $\sin 5x+\sin x$:

$$\sin 5x+\sin x=2\sin \left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{5x-x}{2}\right)=2\sin 3x\cdot \cos 2x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$2\sin 3x\cdot \cos 2x+2{\sin }^{2}x=1$$

Теперь подставим $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ (используем идентичность для ${\sin }^{2}x$):

$$2\sin 3x\cdot \cos 2x+(1-\cos 2x)=1$$

Преобразуем:

$$2\sin 3x\cdot \cos 2x-\cos 2x=0$$

Вынесем $\cos 2x$:

$$\cos 2x\cdot (2\sin 3x-1)=0$$

Решение первого уравнения:

$$\cos 2x=0$$

Это уравнение дает:

$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$$

Решение второго уравнения:

$$2\sin 3x-1=0$$

Отсюда:

$$2\sin 3x=1\Rightarrow \sin 3x=\frac{1}{2}$$

Решение уравнения $\sin \theta =\frac{1}{2}$ дает:

$$3x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Таким образом:

$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{18}+\frac{\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$$

Итоговый ответ для (б):

Объединяя оба решения, получаем:

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{18}+\frac{\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$$