ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти все значения $x$, при которых числа $a, b, c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии:

а) $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$ и $c = \cos 11x$:

$$b = \frac{a + c}{2} \quad \Rightarrow \quad 2b = a + c;$$ $$2 \cos 2x = \cos 7x + \cos 11x;$$ $$2 \cos 2x = 2 \cos \frac{11x + 7x}{2} \cdot \cos \frac{11x — 7x}{2};$$ $$\cos 2x = \cos 9x \cdot \cos 2x;$$ $$\cos 2x \cdot (1 — \cos 9x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$1 — \cos 9x = 0;$$ $$\cos 9x = 1;$$ $$9x = 2\pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{9};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{2\pi n}{9}$.

б) $a = \sin 3x$, $b = \cos x$ и $c = \sin 5x$:

$$b = \frac{a + c}{2} \quad \Rightarrow \quad 2b = a + c;$$ $$2 \cos x = \sin 3x + \sin 5x;$$ $$2 \cos x = 2 \sin \frac{5x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{5x — 3x}{2};$$ $$\cos x = \sin 4x \cdot \cos x;$$ $$\cos x \cdot (1 — \sin 4x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 — \sin 4x = 0;$$ $$\sin 4x = 1;$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

а) $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$ и $c = \cos 11x$

Нам нужно найти все значения $x$, при которых числа $a$, $b$, $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Если три числа $a$, $b$, $c$ находятся в арифметической прогрессии, то выполняется следующее равенство:

$$b = \frac{a + c}{2}$$

Шаг 1. Используем свойство арифметической прогрессии

Подставим в это равенство выражения для $a$, $b$ и $c$:

$$\cos 2x = \frac{\cos 7x + \cos 11x}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$2 \cos 2x = \cos 7x + \cos 11x$$

Шаг 2. Применяем формулы для суммы косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos a + \cos b = 2 \cos \left( \frac{a + b}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{a — b}{2} \right)$$

Подставим $a = 11x$ и $b = 7x$:

$$\cos 7x + \cos 11x = 2 \cos \left( \frac{11x + 7x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{11x — 7x}{2} \right)$$ $$= 2 \cos 9x \cdot \cos 2x$$

Шаг 3. Подставляем полученное выражение в исходное уравнение

Подставляем полученную формулу в уравнение:

$$2 \cos 2x = 2 \cos 9x \cdot \cos 2x$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель

Вынесем общий множитель $2 \cos 2x$:

$$2 \cos 2x \cdot (1 — \cos 9x) = 0$$

Шаг 5. Разбираем два случая

Теперь у нас есть два возможных случая:

1) $\cos 2x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\cos 2x = 0$$

Значение $\cos 2x = 0$ достигается при:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

2) $1 — \cos 9x = 0$

Решаем это уравнение:

$$1 — \cos 9x = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos 9x = 1$$

Значение $\cos 9x = 1$ достигается при:

$$9x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 9:

$$x = \frac{2\pi n}{9}$$

Шаг 6. Ответ для части а

Таким образом, получаем два множества решений:

1. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$
2. $x = \frac{2\pi n}{9}$

Ответ для части а: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{2\pi n}{9}$.

б) $a = \sin 3x$, $b = \cos x$ и $c = \sin 5x$

Для данной части задачи применим тот же принцип: числа $a$, $b$, $c$ должны быть последовательными членами арифметической прогрессии, то есть:

$$b = \frac{a + c}{2}$$

Шаг 1. Используем свойство арифметической прогрессии

Подставим в это равенство выражения для $a$, $b$ и $c$:

$$\cos x = \frac{\sin 3x + \sin 5x}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$2 \cos x = \sin 3x + \sin 5x$$

Шаг 2. Применяем формулу для суммы синусов

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{a — b}{2} \right)$$

Подставим $a = 5x$ и $b = 3x$:

$$\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin \left( \frac{5x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x — 3x}{2} \right)$$ $$= 2 \sin 4x \cdot \cos x$$

Шаг 3. Подставляем полученную формулу в исходное уравнение

Подставляем в уравнение:

$$2 \cos x = 2 \sin 4x \cdot \cos x$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель

Вынесем общий множитель $2 \cos x$:

$$2 \cos x \cdot (1 — \sin 4x) = 0$$

Шаг 5. Разбираем два случая

Теперь у нас есть два возможных случая:

1) $\cos x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\cos x = 0$$

Значение $\cos x = 0$ достигается при:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $1 — \sin 4x = 0$

Решаем это уравнение:

$$1 — \sin 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin 4x = 1$$

Значение $\sin 4x = 1$ достигается при:

$$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6. Ответ для части б

Таким образом, получаем два множества решений:

1. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
2. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ для части б: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.