ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите неравенство:

а)

$\sin (x + \frac{π}{4}) + \sin (x - \frac{π}{4}) < 1;$

б)

$\cos (2 x + \frac{π}{3}) + \cos (2 x - \frac{π}{3}) > - \frac{1}{2}$

Краткий ответ:

а)

$\sin (x + \frac{π}{4}) + \sin (x - \frac{π}{4}) < 1;$ $2 \sin \frac{(x + \frac{π}{4}) + (x - \frac{π}{4})}{2} \cdot \cos \frac{(x + \frac{π}{4}) - (x - \frac{π}{4})}{2} < 1;$ $\sin x \cdot \cos \frac{π}{4} < \frac{1}{2};$ $\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2};$ $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2};$

Равенство выполняется при:

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$ $x = (- 1)^{n} \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + π n = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{4} + π n;$

Решения неравенства:

$- \frac{5 π}{4} + 2 π n < x < \frac{π}{4} + 2 π n;$

б)

$\cos (2 x + \frac{π}{3}) + \cos (2 x - \frac{π}{3}) > - \frac{1}{2};$ $2 \cos \frac{(2 x + \frac{π}{3}) + (2 x - \frac{π}{3})}{2} \cdot \cos \frac{(2 x + \frac{π}{3}) - (2 x - \frac{π}{3})}{2} > - \frac{1}{2};$ $\cos 2 x \cdot \cos \frac{π}{3} > - \frac{1}{4};$ $\cos 2 x \cdot \frac{1}{2} > - \frac{1}{4};$ $\cos 2 x > - \frac{1}{2};$

Равенство выполняется при:

$\cos 2 x = - \frac{1}{2};$ $2 x = \pm (π - \arccos \frac{1}{2}) + 2 π n;$ $2 x = \pm (π - \frac{π}{3}) + 2 π n = \pm \frac{2 π}{3} + 2 π n;$

Решения неравенства:

$- \frac{2 π}{3} + 2 π n < 2 x < \frac{2 π}{3} + 2 π n;$ $- \frac{π}{3} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$

Подробный ответ:

а)

$\sin (x + \frac{π}{4}) + \sin (x - \frac{π}{4}) < 1$

Шаг 1: Применяем формулу для суммы синусов

Используем формулу для суммы синусов:

$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \cdot \cos (\frac{a - b}{2})$

Подставляем $a = x + \frac{π}{4}$ и $b = x - \frac{π}{4}$ :

$\sin (x + \frac{π}{4}) + \sin (x - \frac{π}{4}) = 2 \sin (\frac{x + \frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}}{2}) \cdot \cos (\frac{x + \frac{π}{4} - (x - \frac{π}{4})}{2})$

Упрощаем:

$= 2 \sin (\frac{2 x}{2}) \cdot \cos (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2}) = 2 \sin x \cdot \cos \frac{π}{4}$

Таким образом, уравнение становится:

$2 \sin x \cdot \cos \frac{π}{4} < 1$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos \frac{π}{4}$

Знаем, что $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , подставим это в уравнение:

$2 \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$

Упростим:

$\sin x \cdot \sqrt{2} < 1$

Делим обе части на $\sqrt{2}$ :

$\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 3: Находим решения для равенства

Равенство $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется при:

$x = (- 1)^{n} \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + π n$

Так как $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}$ , то:

$x = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{4} + π n$

Шаг 4: Находим решения для неравенства

Неравенство $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется в интервале:

$- \frac{5 π}{4} + 2 π n < x < \frac{π}{4} + 2 π n$

Ответ для а:

Равенство выполняется при: $x = (- 1)^{n} \cdot \frac{π}{4} + π n$
Решения неравенства: $- \frac{5 π}{4} + 2 π n < x < \frac{π}{4} + 2 π n$

б)

$\cos (2 x + \frac{π}{3}) + \cos (2 x - \frac{π}{3}) > - \frac{1}{2}$

Шаг 1: Применяем формулу для суммы косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$\cos a + \cos b = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) \cdot \cos (\frac{a - b}{2})$

Подставляем $a = 2 x + \frac{π}{3}$ и $b = 2 x - \frac{π}{3}$ :

$\cos (2 x + \frac{π}{3}) + \cos (2 x - \frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{(2 x + \frac{π}{3}) + (2 x - \frac{π}{3})}{2}) \cdot$

$\cdot \cos (\frac{(2 x + \frac{π}{3}) - (2 x - \frac{π}{3})}{2})$

Упрощаем:

$= 2 \cos (\frac{4 x}{2}) \cdot \cos (\frac{\frac{π}{3} + \frac{π}{3}}{2})$ $= 2 \cos 2 x \cdot \cos \frac{π}{3}$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos \frac{π}{3}$

Знаем, что $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , подставим это в уравнение:

$2 \cos 2 x \cdot \frac{1}{2} > - \frac{1}{2}$

Упростим:

$\cos 2 x > - \frac{1}{2}$

Шаг 3: Находим решения для равенства

Равенство $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$ выполняется при:

$2 x = \pm (π - \arccos \frac{1}{2}) + 2 π n$

Зная, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ , подставляем:

$2 x = \pm (π - \frac{π}{3}) + 2 π n$ $2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 π n$

Делим обе части на 2:

$x = \pm \frac{π}{3} + π n$

Шаг 4: Находим решения для неравенства

Неравенство $\cos 2 x > - \frac{1}{2}$ выполняется в интервале:

$- \frac{2 π}{3} + 2 π n < 2 x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$

Делим обе части на 2:

$- \frac{π}{3} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$

Ответ для б:

Равенство выполняется при: $x = \pm \frac{π}{3} + π n$
Решения неравенства: $- \frac{π}{3} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$

Оцени решение