ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})+\sin (x-\frac{\pi }{4})<1;$$$$2\sin \frac{(x+\frac{\pi }{4})+(x-\frac{\pi }{4})}{2}\cdot \cos \frac{(x+\frac{\pi }{4})-(x-\frac{\pi }{4})}{2}<1;$$$$\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{4}<\frac{1}{2};$$$$\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{1}{2};$$$$\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2};$$$$x=(-1{)}^n\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n;$$

Решения неравенства:

$$-\frac{5\pi }{4}+2\pi n<x<\frac{\pi }{4}+2\pi n;$$

б)

$$\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x-\frac{\pi }{3})>-\frac{1}{2};$$$$2\cos \frac{(2x+\frac{\pi }{3})+(2x-\frac{\pi }{3})}{2}\cdot \cos \frac{(2x+\frac{\pi }{3})-(2x-\frac{\pi }{3})}{2}>-\frac{1}{2};$$$$\cos 2x\cdot \cos \frac{\pi }{3}>-\frac{1}{4};$$$$\cos 2x\cdot \frac{1}{2}>-\frac{1}{4};$$$$\cos 2x>-\frac{1}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\cos 2x=-\frac{1}{2};$$$$2x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n;$$$$2x=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$

Решения неравенства:

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<2x<\frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi }{3}+\pi n<x<\frac{\pi }{3}+\pi n$$

а)

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})+\sin (x-\frac{\pi }{4})<1$$

Шаг 1: Применяем формулу для суммы синусов

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin a+\sin b=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Подставляем $a=x+\frac{\pi }{4}$ и $b=x-\frac{\pi }{4}$:

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})+\sin (x-\frac{\pi }{4})=2\sin \left(\frac{x+\frac{\pi }{4}+x-\frac{\pi }{4}}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x+\frac{\pi }{4}-(x-\frac{\pi }{4})}{2}\right)$$

Упрощаем:

$$=2\sin \left(\frac{2x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}}{2}\right)=2\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{4}$$

Таким образом, уравнение становится:

$$2\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{4}<1$$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos \frac{\pi }{4}$

Знаем, что $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим это в уравнение:

$$2\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}<1$$

Упростим:

$$\sin x\cdot \sqrt{2}<1$$

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Находим решения для равенства

Равенство $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется при:

$$x=(-1{)}^n\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n$$

Так как $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$, то:

$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n$$

Шаг 4: Находим решения для неравенства

Неравенство $\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется в интервале:

$$-\frac{5\pi }{4}+2\pi n<x<\frac{\pi }{4}+2\pi n$$

Ответ для а:

• Равенство выполняется при:$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{4}+\pi n$$
• Решения неравенства:$$-\frac{5\pi }{4}+2\pi n<x<\frac{\pi }{4}+2\pi n$$

б)

$$\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x-\frac{\pi }{3})>-\frac{1}{2}$$

Шаг 1: Применяем формулу для суммы косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos a+\cos b=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Подставляем $a=2x+\frac{\pi }{3}$ и $b=2x-\frac{\pi }{3}$:

$$\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x-\frac{\pi }{3})=2\cos \left(\frac{(2x+\frac{\pi }{3})+(2x-\frac{\pi }{3})}{2}\right)\cdot$$

$$·\cos \left(\frac{(2x+\frac{\pi }{3})-(2x-\frac{\pi }{3})}{2}\right)$$

Упрощаем:

$$=2\cos \left(\frac{4x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}}{2}\right)$$$$=2\cos 2x\cdot \cos \frac{\pi }{3}$$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos \frac{\pi }{3}$

Знаем, что $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, подставим это в уравнение:

$$2\cos 2x\cdot \frac{1}{2}>-\frac{1}{2}$$

Упростим:

$$\cos 2x>-\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Находим решения для равенства

Равенство $\cos 2x=-\frac{1}{2}$ выполняется при:

$$2x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n$$

Зная, что $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, подставляем:

$$2x=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n$$$$2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$$

Делим обе части на 2:

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n$$

Шаг 4: Находим решения для неравенства

Неравенство $\cos 2x>-\frac{1}{2}$ выполняется в интервале:

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<2x<\frac{2\pi }{3}+2\pi n$$

Делим обе части на 2:

$$-\frac{\pi }{3}+\pi n<x<\frac{\pi }{3}+\pi n$$

Ответ для б:

• Равенство выполняется при:$$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n$$
• Решения неравенства:$$-\frac{\pi }{3}+\pi n<x<\frac{\pi }{3}+\pi n$$