ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представить в виде произведения:

а) $\cos \frac{\pi}{10} — \cos \frac{\pi}{20} = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{10} — \frac{\pi}{20}}{2}$

$= -2 \sin \frac{\frac{2\pi + \pi}{20}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{2\pi — \pi}{20}}{2} = -2 \sin \frac{3\pi}{40} \cdot \sin \frac{\pi}{40}$;

б) $\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4} = 2 \cos \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{4}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{11\pi}{12} — \frac{3\pi}{4}}{2}$

$= 2 \cos \frac{\frac{11\pi + 9\pi}{12}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{11\pi — 9\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$;

в) $\cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{\pi}{11} = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{11}}{2}$

$= -2 \sin \frac{\frac{11\pi + 5\pi}{55}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{11\pi — 5\pi}{55}}{2} = -2 \sin \frac{8\pi}{55} \cdot \sin \frac{3\pi}{55}$;

г) $\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4} = 2 \cos \frac{\frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{8}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{5\pi}{4} — \frac{3\pi}{8}}{2}$

$= 2 \cos \frac{\frac{10\pi + 3\pi}{8}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{10\pi — 3\pi}{8}}{2} = 2 \cos \frac{13\pi}{16} \cdot \cos \frac{7\pi}{16}$

а) $\cos \frac{\pi}{10} — \cos \frac{\pi}{20}$

Мы используем формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = \frac{\pi}{10}$ и $B = \frac{\pi}{20}$ в эту формулу.

Вычисление суммы и разности углов:

Сначала вычислим $A + B$ и $A — B$:

$$A + B = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20} = \frac{2\pi}{20} + \frac{\pi}{20} = \frac{3\pi}{20}$$ $$A — B = \frac{\pi}{10} — \frac{\pi}{20} = \frac{2\pi}{20} — \frac{\pi}{20} = \frac{\pi}{20}$$

Применяем формулу:

$$\cos \frac{\pi}{10} — \cos \frac{\pi}{20} = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем полученные значения:

$$= -2 \sin \left( \frac{\frac{3\pi}{20}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{20}}{2} \right)$$

Это упрощается до:

$$= -2 \sin \frac{3\pi}{40} \cdot \sin \frac{\pi}{40}$$

Итак, результат:

$$\cos \frac{\pi}{10} — \cos \frac{\pi}{20} = -2 \sin \frac{3\pi}{40} \cdot \sin \frac{\pi}{40}$$

б) $\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4}$

Мы используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = \frac{11\pi}{12}$ и $B = \frac{3\pi}{4}$ в эту формулу.

Вычисление суммы и разности углов:

Сначала вычислим $A + B$ и $A — B$:

$$A + B = \frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$$ $$A — B = \frac{11\pi}{12} — \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{12} — \frac{9\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

Применяем формулу:

$$\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4} = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем полученные значения:

$$= 2 \cos \left( \frac{\frac{5\pi}{6}}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{\pi}{6}}{2} \right)$$

Это упрощается до:

$$= 2 \cos \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Итак, результат:

$$\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4} = 2 \cos \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

в) $\cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{\pi}{11}$

Используем снова формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = \frac{\pi}{5}$ и $B = \frac{\pi}{11}$.

Вычисление суммы и разности углов:

Сначала вычислим $A + B$ и $A — B$:

$$A + B = \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11} = \frac{11\pi}{55} + \frac{5\pi}{55} = \frac{16\pi}{55}$$ $$A — B = \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{11} = \frac{11\pi}{55} — \frac{5\pi}{55} = \frac{6\pi}{55}$$

Применяем формулу:

$$\cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{\pi}{11} = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем полученные значения:

$$= -2 \sin \left( \frac{\frac{16\pi}{55}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{6\pi}{55}}{2} \right)$$

Это упрощается до:

$$= -2 \sin \frac{8\pi}{55} \cdot \sin \frac{3\pi}{55}$$

Итак, результат:

$$\cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{\pi}{11} = -2 \sin \frac{8\pi}{55} \cdot \sin \frac{3\pi}{55}$$

г) $\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4}$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = \frac{3\pi}{8}$ и $B = \frac{5\pi}{4}$.

Вычисление суммы и разности углов:

Сначала вычислим $A + B$ и $A — B$:

$$A + B = \frac{3\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} = \frac{3\pi}{8} + \frac{10\pi}{8} = \frac{13\pi}{8}$$ $$A — B = \frac{3\pi}{8} — \frac{5\pi}{4} = \frac{3\pi}{8} — \frac{10\pi}{8} = \frac{-7\pi}{8}$$

Применяем формулу:

$$\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4} = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем полученные значения:

$$= 2 \cos \left( \frac{\frac{13\pi}{8}}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{-7\pi}{8}}{2} \right)$$

Это упрощается до:

$$= 2 \cos \frac{13\pi}{16} \cdot \cos \frac{-7\pi}{16}$$

Поскольку $\cos \left( -\theta \right) = \cos \theta$, то:

$$= 2 \cos \frac{13\pi}{16} \cdot \cos \frac{7\pi}{16}$$

Итак, результат:

$$\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4} = 2 \cos \frac{13\pi}{16} \cdot \cos \frac{7\pi}{16}$$