ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) $\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} =$

б) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}} =$

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} =$

г) $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$

Представить в виде произведения:

а) $\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} =$

$= \frac{\sin (25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ};$

б) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}} =$

$= \frac{\sin \left( \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10} \right)}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}};$

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} =$

$= \frac{\sin (20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ};$

г) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}} =$

$= \frac{\sin \left( \frac{4\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} \right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}};$

а) $\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ$

Определение тангенса через синус и косинус:

Напомним, что тангенс угла можно выразить через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Тогда для выражения $\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ$ получаем:

$$\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}$$

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы сложить дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого умножаем числители и знаменатели на подходящие выражения:

$$\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

Использование формулы для синуса суммы:

В числителе получается выражение, похожее на формулу для синуса суммы:

$$\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A = \sin(A + B)$$

В нашем случае:

$$\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ = \sin(25^\circ + 35^\circ) = \sin 60^\circ$$

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

$$\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

Это и есть искомый результат.

б) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10}$

Определение тангенса через синус и косинус:

Опять же используем определение тангенса через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}}, \quad \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}}$$

Подставляем эти выражения в исходную разность:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}}$$

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого умножаем числители и знаменатели на подходящие выражения:

$$\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}}$$

Использование формулы для синуса разности:

В числителе у нас выражение, похожее на формулу для синуса разности:

$$\sin A \cdot \cos B — \sin B \cdot \cos A = \sin(A — B)$$

В нашем случае:

$$\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \sin \left( \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10} \right) = \sin \frac{\pi}{10}$$

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}}$$

Это и есть искомый результат.

в) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ$

Определение тангенса через синус и косинус:

Используем определение тангенса:

$$\operatorname{tg} 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}, \quad \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$

Подставляем эти выражения в исходную сумму:

$$\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$

Приведение к общему знаменателю:

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

Использование формулы для синуса суммы:

В числителе у нас выражение, которое можно привести к формуле для синуса суммы:

$$\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A = \sin(A + B)$$

В нашем случае:

$$\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ = \sin(20^\circ + 40^\circ) = \sin 60^\circ$$

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

$$\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

Это и есть искомый результат.

г) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$

Определение тангенса через синус и косинус:

Для начала выражаем тангенсы через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}}, \quad \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}$$

Подставляем эти выражения в исходную разность:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}$$

Приведение к общему знаменателю:

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}}$$

Использование формулы для синуса разности:

В числителе у нас выражение, похожее на формулу для синуса разности:

$$\sin A \cdot \cos B — \sin B \cdot \cos A = \sin(A — B)$$

В нашем случае:

$$\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{12}$$

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}}$$

Это и есть искомый результат.