1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс по Алгебре — Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.6 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
Год
2015-2020.
Издательство
Мнемозина.
Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Представьте в виде произведения:

а) tg⁡25∘+tg⁡35∘ \operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} =

б) tg⁡π5−tg⁡π10 \operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}} =

в) tg⁡20∘+tg⁡40∘ \operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} =

г) tg⁡π3−tg⁡π4

Краткий ответ

Представить в виде произведения:

а) tg⁡25∘+tg⁡35∘=sin⁡25∘cos⁡25∘+sin⁡35∘cos⁡35∘=sin⁡25∘⋅cos⁡35∘+sin⁡35∘⋅cos⁡25∘cos⁡25∘⋅cos⁡35∘=\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} =

=sin⁡(25∘+35∘)cos⁡25∘⋅cos⁡35∘=sin⁡60∘cos⁡25∘⋅cos⁡35∘;= \frac{\sin (25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ};

б) tg⁡π5−tg⁡π10=sin⁡π5cos⁡π5−sin⁡π10cos⁡π10=sin⁡π5⋅cos⁡π10−sin⁡π10⋅cos⁡π5cos⁡π5⋅cos⁡π10=\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}} =

=sin⁡(π5−π10)cos⁡π5⋅cos⁡π10=sin⁡π10cos⁡π5⋅cos⁡π10;= \frac{\sin \left( \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10} \right)}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}};

в) tg⁡20∘+tg⁡40∘=sin⁡20∘cos⁡20∘+sin⁡40∘cos⁡40∘=sin⁡20∘⋅cos⁡40∘+sin⁡40∘⋅cos⁡20∘cos⁡20∘⋅cos⁡40∘=\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} =

=sin⁡(20∘+40∘)cos⁡20∘⋅cos⁡40∘=sin⁡60∘cos⁡20∘⋅cos⁡40∘;= \frac{\sin (20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ};

г) tg⁡π3−tg⁡π4=sin⁡π3cos⁡π3−sin⁡π4cos⁡π4=sin⁡π3⋅cos⁡π4−sin⁡π4⋅cos⁡π3cos⁡π3⋅cos⁡π4=sin⁡(π3−π4)cos⁡π3⋅cos⁡π4=\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}} =

=sin⁡(4π12−3π12)cos⁡π3⋅cos⁡π4=sin⁡π12cos⁡π3⋅cos⁡π4 = \frac{\sin \left( \frac{4\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} \right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}};

Подробный ответ

а) tg⁡25∘+tg⁡35∘\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ

Определение тангенса через синус и косинус:

Напомним, что тангенс угла можно выразить через синус и косинус:

tg⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Тогда для выражения tg⁡25∘+tg⁡35∘\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ получаем:

tg⁡25∘+tg⁡35∘=sin⁡25∘cos⁡25∘+sin⁡35∘cos⁡35∘\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы сложить дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого умножаем числители и знаменатели на подходящие выражения:

sin⁡25∘cos⁡25∘+sin⁡35∘cos⁡35∘=sin⁡25∘⋅cos⁡35∘+sin⁡35∘⋅cos⁡25∘cos⁡25∘⋅cos⁡35∘\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}

Использование формулы для синуса суммы:

В числителе получается выражение, похожее на формулу для синуса суммы:

sin⁡A⋅cos⁡B+sin⁡B⋅cos⁡A=sin⁡(A+B)\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A = \sin(A + B)

В нашем случае:

sin⁡25∘⋅cos⁡35∘+sin⁡35∘⋅cos⁡25∘=sin⁡(25∘+35∘)=sin⁡60∘\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \sin 35^\circ \cdot \cos 25^\circ = \sin(25^\circ + 35^\circ) = \sin 60^\circ

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

tg⁡25∘+tg⁡35∘=sin⁡60∘cos⁡25∘⋅cos⁡35∘\operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}

Это и есть искомый результат.

б) tg⁡π5−tg⁡π10\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10}

Определение тангенса через синус и косинус:

Опять же используем определение тангенса через синус и косинус:

tg⁡π5=sin⁡π5cos⁡π5,tg⁡π10=sin⁡π10cos⁡π10\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}}, \quad \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}}

Подставляем эти выражения в исходную разность:

tg⁡π5−tg⁡π10=sin⁡π5cos⁡π5−sin⁡π10cos⁡π10\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}}

Приведение к общему знаменателю:

Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого умножаем числители и знаменатели на подходящие выражения:

sin⁡π5cos⁡π5−sin⁡π10cos⁡π10=sin⁡π5⋅cos⁡π10−sin⁡π10⋅cos⁡π5cos⁡π5⋅cos⁡π10\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} — \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}}

Использование формулы для синуса разности:

В числителе у нас выражение, похожее на формулу для синуса разности:

sin⁡A⋅cos⁡B−sin⁡B⋅cos⁡A=sin⁡(A−B)\sin A \cdot \cos B — \sin B \cdot \cos A = \sin(A — B)

В нашем случае:

sin⁡π5⋅cos⁡π10−sin⁡π10⋅cos⁡π5=sin⁡(π5−π10)=sin⁡π10\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \sin \left( \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10} \right) = \sin \frac{\pi}{10}

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

tg⁡π5−tg⁡π10=sin⁡π10cos⁡π5⋅cos⁡π10\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{10} = \frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}}

Это и есть искомый результат.

в) tg⁡20∘+tg⁡40∘\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ

Определение тангенса через синус и косинус:

Используем определение тангенса:

tg⁡20∘=sin⁡20∘cos⁡20∘,tg⁡40∘=sin⁡40∘cos⁡40∘\operatorname{tg} 20^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}, \quad \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}

Подставляем эти выражения в исходную сумму:

tg⁡20∘+tg⁡40∘=sin⁡20∘cos⁡20∘+sin⁡40∘cos⁡40∘\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}

Приведение к общему знаменателю:

Приводим дроби к общему знаменателю:

sin⁡20∘cos⁡20∘+sin⁡40∘cos⁡40∘=sin⁡20∘⋅cos⁡40∘+sin⁡40∘⋅cos⁡20∘cos⁡20∘⋅cos⁡40∘\frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}

Использование формулы для синуса суммы:

В числителе у нас выражение, которое можно привести к формуле для синуса суммы:

sin⁡A⋅cos⁡B+sin⁡B⋅cos⁡A=sin⁡(A+B)\sin A \cdot \cos B + \sin B \cdot \cos A = \sin(A + B)

В нашем случае:

sin⁡20∘⋅cos⁡40∘+sin⁡40∘⋅cos⁡20∘=sin⁡(20∘+40∘)=sin⁡60∘\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ = \sin(20^\circ + 40^\circ) = \sin 60^\circ

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

tg⁡20∘+tg⁡40∘=sin⁡60∘cos⁡20∘⋅cos⁡40∘\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}

Это и есть искомый результат.

г) tg⁡π3−tg⁡π4\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}

Определение тангенса через синус и косинус:

Для начала выражаем тангенсы через синус и косинус:

tg⁡π3=sin⁡π3cos⁡π3,tg⁡π4=sin⁡π4cos⁡π4\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}}, \quad \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}

Подставляем эти выражения в исходную разность:

tg⁡π3−tg⁡π4=sin⁡π3cos⁡π3−sin⁡π4cos⁡π4\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}

Приведение к общему знаменателю:

Приводим дроби к общему знаменателю:

sin⁡π3cos⁡π3−sin⁡π4cos⁡π4=sin⁡π3⋅cos⁡π4−sin⁡π4⋅cos⁡π3cos⁡π3⋅cos⁡π4\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}}

Использование формулы для синуса разности:

В числителе у нас выражение, похожее на формулу для синуса разности:

sin⁡A⋅cos⁡B−sin⁡B⋅cos⁡A=sin⁡(A−B)\sin A \cdot \cos B — \sin B \cdot \cos A = \sin(A — B)

В нашем случае:

sin⁡π3⋅cos⁡π4−sin⁡π4⋅cos⁡π3=sin⁡(π3−π4)=sin⁡π12\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{12}

Получение окончательного выражения:

Подставляем это в исходное выражение:

tg⁡π3−tg⁡π4=sin⁡π12cos⁡π3⋅cos⁡π4\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}}

Это и есть искомый результат.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
4.1 / 5
Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Другие предметы
Алгебра
7-10 класс
7 10 10