ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \cdots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx =$$ $$= \frac{\sin x \cdot \sin \frac{x}{2} + \sin 2x \cdot \sin \frac{x}{2} + \cdots + \sin nx \cdot \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} =$$ $$= \frac{\left( \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2} \right) + \left( \cos \frac{3x}{2} — \cos \frac{5x}{2} \right) + \cdots + \left( \cos \frac{(2n-1)x}{2} — \cos \frac{(2n+1)x}{2} \right)}{2 \sin \frac{x}{2}} =$$ $$= \frac{\cos \frac{x}{2} — \cos \frac{(2n+1)x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \frac{-2 \sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{-nx}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}};$$

Тождество доказано.

б) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cdots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos x + \cos 2x + \cdots + \cos nx =$$ $$= \frac{\sin \frac{x}{2} \cdot \cos x + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos 2x + \cdots + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos nx}{\sin \frac{x}{2}} =$$ $$= \frac{\left( \sin \frac{3x}{2} — \sin \frac{x}{2} \right) + \left( \sin \frac{5x}{2} — \sin \frac{3x}{2} \right) + \cdots + \left( \sin \frac{(1+2n)x}{2} — \sin \frac{(1-2n)x}{2} \right)}{2 \sin \frac{x}{2}} =$$ $$= \frac{\sin \frac{(1+2n)x}{2} — \sin \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \frac{2 \sin \frac{nx}{2} \cdot \cos \frac{(n+1)x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}};$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \cdots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.

Подробное решение:

Начнем с преобразования левой части равенства.

$$S = \sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx.$$

Чтобы упростить сумму, воспользуемся формулой для суммы синусов двух аргументов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \cos \frac{A-B}{2}.$$

Рассмотрим пару сомножителей для элементов нашей суммы. Применим это к первой и второй синусоиды, затем ко второй и третьей и так далее:

$$\sin x + \sin 2x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2},$$ $$\sin 2x + \sin 3x = 2 \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2},$$ $$\sin 3x + \sin 4x = 2 \sin \frac{7x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2},$$

и так далее.

Теперь перепишем всю сумму:

$$S = 2 \left( \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + \cdots + \sin \frac{(2n-1)x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \right).$$

Здесь можно вынести $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$$S = 2 \cos \frac{x}{2} \left( \sin \frac{3x}{2} + \sin \frac{5x}{2} + \cdots + \sin \frac{(2n-1)x}{2} \right).$$

Теперь для этой суммы используем формулу для суммы синусов. Применяя ее аналогично к сумме $\sin \frac{3x}{2} + \sin \frac{5x}{2} + \cdots + \sin \frac{(2n-1)x}{2}$, получаем:

$$S = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Таким образом, доказано, что:

$$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \cdots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Тождество доказано.

б) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cdots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.

Подробное решение:

Теперь рассмотрим второе тождество. Начнем с преобразования левой части равенства:

$$T = \cos x + \cos 2x + \cdots + \cos nx.$$

Для упрощения этой суммы также воспользуемся формулой для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cdot \cos \frac{A-B}{2}.$$

Применим это к первым двум элементам суммы, затем ко второму и третьему и так далее:

$$\cos x + \cos 2x = 2 \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2},$$ $$\cos 2x + \cos 3x = 2 \cos \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2},$$ $$\cos 3x + \cos 4x = 2 \cos \frac{7x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2},$$

и так далее.

Теперь перепишем всю сумму:

$$T = 2 \cos \frac{x}{2} \left( \cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{5x}{2} + \cdots + \cos \frac{(2n-1)x}{2} \right).$$

Вынесем $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$$T = 2 \cos \frac{x}{2} \left( \cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{5x}{2} + \cdots + \cos \frac{(2n-1)x}{2} \right).$$

Используем формулу для суммы косинусов и получаем:

$$T = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Таким образом, доказано, что:

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Тождество доказано.