ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) sin12° · cos72° — cos33° · cos27°;

б) 2cos28° · cos 17° — 2sin31° · sin14° — 2sin14° · sin3°.

а)

$$\sin 12^\circ \cdot \cos 72^\circ — \cos 33^\circ \cdot \cos 27^\circ =$$ $$= \frac{\sin(12^\circ + 72^\circ) + \sin(12^\circ — 72^\circ)}{2} — \frac{\cos(33^\circ + 27^\circ) + \cos(33^\circ — 27^\circ)}{2} =$$ $$= \frac{1}{2} (\sin 84^\circ — \sin 60^\circ — \cos 60^\circ — \cos 6^\circ) =$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin(90^\circ — 6^\circ) — \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} — \cos 6^\circ \right) =$$ $$= \frac{1}{2} \left( \cos 6^\circ — \frac{\sqrt{3} + 1}{2} — \cos 6^\circ \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3} + 1}{4};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

б)

$$2 \cos 28^\circ \cdot \cos 17^\circ — 2 \sin 31^\circ \cdot \sin 14^\circ — 2 \sin 14^\circ \cdot \sin 3^\circ =$$ $$= (\cos 45^\circ + \cos 11^\circ) — (\cos 17^\circ — \cos 45^\circ) — (\cos 11^\circ — \cos 17^\circ) =$$ $$= 2 \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};$$

1. $2 \cos 28^\circ \cdot \cos 17^\circ = \cos(28^\circ + 17^\circ) + \cos(28^\circ — 17^\circ) = \cos 45^\circ + \cos 11^\circ;$
2. $2 \sin 31^\circ \cdot \sin 14^\circ = \cos(31^\circ — 14^\circ) — \cos(31^\circ + 14^\circ) = \cos 17^\circ — \cos 45^\circ;$
3. $2 \sin 14^\circ \cdot \sin 3^\circ = \cos(14^\circ — 3^\circ) — \cos(14^\circ + 3^\circ) = \cos 11^\circ — \cos 17^\circ;$

Ответ: $\sqrt{2}$.

а)

Задание:

$$\sin 12^\circ \cdot \cos 72^\circ — \cos 33^\circ \cdot \cos 27^\circ$$

Шаг 1. Применяем формулы для произведений синуса и косинуса

Для того чтобы упростить выражение, можно воспользоваться известными тригонометрическими формулами для произведений синуса и косинуса:

1. $\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A — B)]$
2. $\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A — B)]$

Применим эти формулы к каждому из слагаемых:

• $\sin 12^\circ \cdot \cos 72^\circ$ — используем формулу для произведения синуса и косинуса:

  $$\sin 12^\circ \cdot \cos 72^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(12^\circ + 72^\circ) + \sin(12^\circ — 72^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 84^\circ + \sin(-60^\circ) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 84^\circ — \sin 60^\circ \right)$$

• $\cos 33^\circ \cdot \cos 27^\circ$ — используем формулу для произведения косинусов:

  $$\cos 33^\circ \cdot \cos 27^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(33^\circ + 27^\circ) + \cos(33^\circ — 27^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \cos 60^\circ + \cos 6^\circ \right)$$

Шаг 2. Подставляем выражения в исходное уравнение

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение:

$$\sin 12^\circ \cdot \cos 72^\circ — \cos 33^\circ \cdot \cos 27^\circ$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 84^\circ — \sin 60^\circ \right) — \frac{1}{2} \left( \cos 60^\circ + \cos 6^\circ \right)$$

Шаг 3. Упрощаем

Теперь упростим выражение:

$$= \frac{1}{2} \left( \sin 84^\circ — \sin 60^\circ — \cos 60^\circ — \cos 6^\circ \right)$$

Шаг 4. Используем тригонометрические значения

Заменим числовые значения для синусов и косинусов:

• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 84^\circ$ и $\cos 6^\circ$ оставляем как есть.

Теперь подставляем эти значения в выражение:

$$= \frac{1}{2} \left( \sin 84^\circ — \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} — \cos 6^\circ \right)$$

Шаг 5. Используем формулу для $\sin(90^\circ — \theta)$

В выражении есть $\sin 84^\circ$, которое можно выразить через косинус:

$$\sin 84^\circ = \cos (90^\circ — 84^\circ) = \cos 6^\circ$$

Подставляем это в уравнение:

$$= \frac{1}{2} \left( \cos 6^\circ — \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} — \cos 6^\circ \right)$$

Шаг 6. Упрощаем выражение

Теперь у нас появляется $\cos 6^\circ$ и $— \cos 6^\circ$, которые сокращаются:

$$= \frac{1}{2} \left( — \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right)$$

Шаг 7. Финальный результат

Теперь вычисляем окончательный результат:

$$= -\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$$

Ответ:

$$-\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$$

б)

Задание:

$$2 \cos 28^\circ \cdot \cos 17^\circ — 2 \sin 31^\circ \cdot \sin 14^\circ — 2 \sin 14^\circ \cdot \sin 3^\circ$$

Шаг 1. Применяем формулы для произведений синуса и косинуса

Используем стандартные формулы для произведений:

1. $2 \cos A \cdot \cos B = \cos(A + B) + \cos(A — B)$
2. $2 \sin A \cdot \sin B = \cos(A — B) — \cos(A + B)$

Применим их к каждому из слагаемых:

• $2 \cos 28^\circ \cdot \cos 17^\circ$:

  $$2 \cos 28^\circ \cdot \cos 17^\circ = \cos(28^\circ + 17^\circ) + \cos(28^\circ — 17^\circ) = \cos 45^\circ + \cos 11^\circ$$

• $2 \sin 31^\circ \cdot \sin 14^\circ$:

  $$2 \sin 31^\circ \cdot \sin 14^\circ = \cos(31^\circ — 14^\circ) — \cos(31^\circ + 14^\circ) = \cos 17^\circ — \cos 45^\circ$$

• $2 \sin 14^\circ \cdot \sin 3^\circ$:

  $$2 \sin 14^\circ \cdot \sin 3^\circ = \cos(14^\circ — 3^\circ) — \cos(14^\circ + 3^\circ) = \cos 11^\circ — \cos 17^\circ$$

Шаг 2. Подставляем в исходное выражение

Теперь подставляем все выражения в исходное:

$$2 \cos 28^\circ \cdot \cos 17^\circ — 2 \sin 31^\circ \cdot \sin 14^\circ — 2 \sin 14^\circ \cdot \sin 3^\circ$$ $$= (\cos 45^\circ + \cos 11^\circ) — (\cos 17^\circ — \cos 45^\circ) — (\cos 11^\circ — \cos 17^\circ)$$

Шаг 3. Упрощаем выражение

Раскрываем скобки:

$$= \cos 45^\circ + \cos 11^\circ — \cos 17^\circ + \cos 45^\circ — \cos 11^\circ + \cos 17^\circ$$

Теперь у нас происходит сокращение:

$$= 2 \cos 45^\circ$$

Шаг 4. Подставляем значение для $\cos 45^\circ$

Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$$= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\sqrt{2}$$