ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа $a$ и $b$:

a) $a = \sin 1 \cdot \cos 2$ и $b = \sin 3 \cdot \cos 4$;

Значения чисел:

$$a = \sin 1 \cdot \cos 2 = \frac{\sin(1+2) + \sin(1-2)}{2} = \frac{\sin 3 — \sin 1}{2};$$ $$b = \sin 3 \cdot \cos 4 = \frac{\sin(3+4) + \sin(3-4)}{2} = \frac{\sin 7 — \sin 1}{2};$$

Разность чисел:

$$a — b = \frac{\sin 3 — \sin 1}{2} — \frac{\sin 7 — \sin 1}{2} = \frac{1}{2} (\sin 3 — \sin 7);$$ $$a — b = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{3-7}{2} \cdot \cos \frac{3+7}{2} = -\sin 2 \cdot \cos 5 < 0;$$

Точка 2 принадлежит второй четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi \implies \sin 2 > 0;$$

Точка 5 принадлежит четвертой четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi \implies \cos 5 > 0;$$

Ответ: $a < b$.

б) $a = \cos 2 \cdot \cos 4$ и $b = -\sin 3,5 \cdot \sin 2,5$;

Значения чисел:

$$a = \cos 2 \cdot \cos 4 = \frac{\cos(2+4) + \cos(4-2)}{2} = \frac{\cos 6 + \cos 2}{2};$$ $$b = -\sin 3,5 \cdot \sin 2,5 = -\frac{\cos(3,5-2,5) — \cos(3,5+2,5)}{2} = \frac{\cos 6 — \cos 1}{2};$$

Разность чисел:

$$a — b = \frac{\cos 6 + \cos 2}{2} — \frac{\cos 6 — \cos 1}{2} = \frac{1}{2} (\cos 1 + \cos 2);$$ $$a — b = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{1+2}{2} \cdot \cos \frac{2-1}{2} = \cos 1,5 \cdot \cos 0,5 > 0;$$

Точка 1,5 принадлежит первой четверти:

$$0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} \implies \cos 1,5 > 0;$$

Точка 0,5 принадлежит первой четверти:

$$0 < 0,5 < \frac{\pi}{2} \implies \cos 0,5 > 0;$$

Ответ: $a > b$.

Сравнить числа $a$ и $b$:

a) $a = \sin 1 \cdot \cos 2$ и $b = \sin 3 \cdot \cos 4$

1) Значения чисел

Для начала найдём выражения для $a$ и $b$, используя тригонометрическую формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin x \cdot \cos y = \frac{1}{2} \left( \sin(x + y) + \sin(x — y) \right)$$

Применим эту формулу к $a = \sin 1 \cdot \cos 2$:

$$a = \sin 1 \cdot \cos 2 = \frac{1}{2} \left( \sin(1 + 2) + \sin(1 — 2) \right)$$ $$a = \frac{1}{2} \left( \sin 3 + \sin(-1) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 3 — \sin 1 \right)$$

Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$a = \frac{1}{2} \left( \sin 3 — \sin 1 \right)$$

Теперь для $b = \sin 3 \cdot \cos 4$ аналогично применим ту же тригонометрическую формулу:

$$b = \sin 3 \cdot \cos 4 = \frac{1}{2} \left( \sin(3 + 4) + \sin(3 — 4) \right)$$ $$b = \frac{1}{2} \left( \sin 7 + \sin(-1) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 7 — \sin 1 \right)$$

Таким образом:

$$b = \frac{1}{2} \left( \sin 7 — \sin 1 \right)$$

2) Разность чисел

Теперь найдём разность чисел $a$ и $b$:

$$a — b = \frac{1}{2} \left( \sin 3 — \sin 1 \right) — \frac{1}{2} \left( \sin 7 — \sin 1 \right)$$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$$a — b = \frac{1}{2} \left( (\sin 3 — \sin 1) — (\sin 7 — \sin 1) \right)$$ $$a — b = \frac{1}{2} \left( \sin 3 — \sin 7 \right)$$

Используем формулу для разности синусов:

$$\sin x — \sin y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Применим её к $\sin 3 — \sin 7$:

$$\sin 3 — \sin 7 = 2 \cos\left(\frac{3 + 7}{2}\right) \sin\left(\frac{3 — 7}{2}\right) = 2 \cos 5 \sin (-2)$$

Так как $\sin (-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$\sin 3 — \sin 7 = -2 \cos 5 \sin 2$$

Подставляем в разность:

$$a — b = \frac{1}{2} \cdot (-2 \cos 5 \sin 2)$$ $$a — b = -\cos 5 \sin 2$$

Так как $\cos 5$ и $\sin 2$ положительные (см. ниже), то произведение $\cos 5 \sin 2$ также положительное. Следовательно, разность $a — b$ отрицательна:

$$a — b < 0$$

3) Точка 2 принадлежит второй четверти

Для того чтобы понимать, почему $\sin 2 > 0$, нужно рассмотреть, в какой четверти находится угол $2$ радиан.

Преобразуем радианы в градусы: $2$ радиан — это примерно $114,6^\circ$, что находится во второй четверти, где синус положителен.

Таким образом:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi \implies \sin 2 > 0$$

4) Точка 5 принадлежит четвертой четверти

Для угла $5$ радиан, $5$ радиан примерно равно $286,5^\circ$, что находится в четвертой четверти, где косинус положителен.

Таким образом:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi \implies \cos 5 > 0$$

Ответ:

Так как $a — b = -\cos 5 \sin 2$ и разность отрицательна, то:

$$a < b$$

б) $a = \cos 2 \cdot \cos 4$ и $b = -\sin 3,5 \cdot \sin 2,5$

1) Значения чисел

Для $a = \cos 2 \cdot \cos 4$ используем тригонометрическую формулу для произведения косинусов:

$$\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2} \left( \cos(x + y) + \cos(x — y) \right)$$

Применим её к $a$:

$$a = \cos 2 \cdot \cos 4 = \frac{1}{2} \left( \cos(2 + 4) + \cos(4 — 2) \right)$$ $$a = \frac{1}{2} \left( \cos 6 + \cos 2 \right)$$

Теперь для $b = -\sin 3,5 \cdot \sin 2,5$ применим формулу для произведения синусов:

$$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2} \left( \cos(x — y) — \cos(x + y) \right)$$

Применим её к $b$:

$$b = -\sin 3,5 \cdot \sin 2,5 = -\frac{1}{2} \left( \cos(3,5 — 2,5) — \cos(3,5 + 2,5) \right)$$ $$b = \frac{1}{2} \left( \cos 1 — \cos 6 \right)$$

2) Разность чисел

Теперь найдём разность $a — b$:

$$a — b = \frac{1}{2} \left( \cos 6 + \cos 2 \right) — \frac{1}{2} \left( \cos 1 — \cos 6 \right)$$ $$a — b = \frac{1}{2} \left( \cos 6 + \cos 2 — \cos 1 + \cos 6 \right)$$ $$a — b = \frac{1}{2} \left( 2 \cos 6 + \cos 2 — \cos 1 \right)$$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$a — b = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos \left( \frac{1+2}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2-1}{2} \right)$$ $$a — b = \cos 1,5 \cdot \cos 0,5$$

Так как оба множителя положительны (см. ниже), разность $a — b$ положительна.

3) Точка 1,5 принадлежит первой четверти

$1,5$ радиан — это примерно $85,9^\circ$, что находится в первой четверти, где косинус положителен:

$$0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} \implies \cos 1,5 > 0$$

4) Точка 0,5 принадлежит первой четверти

$0,5$ радиан — это примерно $28,6^\circ$, что также находится в первой четверти, где косинус положителен:

$$0 < 0,5 < \frac{\pi}{2} \implies \cos 0,5 > 0$$

Ответ:

Так как разность $a — b = \cos 1,5 \cdot \cos 0,5$ положительна, то:

$$a > b$$