ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

a) sin(x + 2) · cos(х — 2) < sin(х + 3) · cos(х — 3);

б) cos(2х — 3) · cos(2х + 3) > sin(1 + 2х) · sin(1 — 2х).

a) $\sin(x+2) \cdot \cos(x-2) < \sin(x+3) \cdot \cos(x-3)$;

$$\frac{\sin 2x + \sin 4}{2} < \frac{\sin 2x + \sin 6}{2};$$ $$\sin 4 < \sin 6;$$ $$\sin 6 — \sin 4 > 0;$$ $$2 \sin \frac{6-4}{2} \cdot \cos \frac{6+4}{2} > 0;$$ $$\sin 1 \cdot \cos 5 > 0;$$

Точка 1 принадлежит первой четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin 1 > 0;$$

Точка 5 принадлежит четвертой четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi \quad \Rightarrow \quad \cos 5 > 0;$$

Неравенство доказано.

б) $\cos(2x-3) \cdot \cos(2x+3) > \sin(1+2x) \cdot \sin(1-2x)$;

$$\frac{\cos 4x + \cos 6}{2} > \frac{\cos 4x — \cos 2}{2};$$ $$\cos 6 > -\cos 2;$$ $$\cos 6 + \cos 2 > 0;$$ $$2 \cos \frac{6+2}{2} \cdot \cos \frac{6-2}{2} > 0;$$ $$\cos 4 \cdot \cos 2 > 0;$$

Точка 4 принадлежит третьей четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos 4 < 0;$$

Точка 2 принадлежит второй четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi \quad \Rightarrow \quad \cos 2 < 0;$$

Неравенство доказано.

a) $\sin(x+2) \cdot \cos(x-2) < \sin(x+3) \cdot \cos(x-3)$

Шаг 1: Перепишем исходное неравенство в более удобной форме.

Используем тригонометрические формулы для суммы углов:

$$\sin(x+2) = \sin x \cdot \cos 2 + \cos x \cdot \sin 2$$ $$\cos(x-2) = \cos x \cdot \cos 2 + \sin x \cdot \sin 2$$

Тогда левая часть неравенства будет:

$$\sin(x+2) \cdot \cos(x-2) = (\sin x \cdot \cos 2 + \cos x \cdot \sin 2) \cdot (\cos x \cdot \cos 2 + \sin x \cdot \sin 2)$$

Теперь аналогично для правой части:

$$\sin(x+3) = \sin x \cdot \cos 3 + \cos x \cdot \sin 3$$ $$\cos(x-3) = \cos x \cdot \cos 3 + \sin x \cdot \sin 3$$

Правая часть будет:

$$\sin(x+3) \cdot \cos(x-3) = (\sin x \cdot \cos 3 + \cos x \cdot \sin 3) \cdot (\cos x \cdot \cos 3 + \sin x \cdot \sin 3)$$

Шаг 2: Упростим выражения.

Мы видим, что здесь можно использовать известные формулы для произведений синусов и косинусов:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$$

Это позволяет преобразовать обе части неравенства в более простые суммы синусов.

Шаг 3: Исходя из предыдущих преобразований, мы получаем:

$$\frac{\sin 2x + \sin 4}{2} < \frac{\sin 2x + \sin 6}{2}$$

Шаг 4: Упростим неравенство.

Умножим обе части на 2 (так как множитель положительный, неравенство не изменится):

$$\sin 2x + \sin 4 < \sin 2x + \sin 6$$

Шаг 5: Упрощаем дальше.

Вычитаем $\sin 2x$ с обеих сторон:

$$\sin 4 < \sin 6$$

Шаг 6: Рассмотрим неравенство $\sin 4 < \sin 6$.

Здесь нужно использовать свойство функции синуса, которая возрастает на интервале от 0 до $\frac{\pi}{2}$. Поскольку $4 < 6$, то:

$$\sin 4 < \sin 6$$

Таким образом, неравенство выполнено.

Шаг 7: Доказательство неравенства.

$$\sin 6 — \sin 4 > 0$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Подставим $A = 6$ и $B = 4$:

$$\sin 6 — \sin 4 = 2 \cdot \cos \left( \frac{6 + 4}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{6 — 4}{2} \right)$$ $$= 2 \cdot \cos 5 \cdot \sin 1$$

Так как $\sin 1 > 0$ и $\cos 5 > 0$ (это будет показано ниже), неравенство верно.

Шаг 8: Доказательство $\sin 1 \cdot \cos 5 > 0$.

$1$ принадлежит первой четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin 1 > 0$$

$5$ принадлежит четвертой четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi \quad \Rightarrow \quad \cos 5 > 0$$

Таким образом, $\sin 1 \cdot \cos 5 > 0$, и неравенство доказано.

б) $\cos(2x-3) \cdot \cos(2x+3) > \sin(1+2x) \cdot \sin(1-2x)$

Шаг 1: Перепишем обе части неравенства.

Используем формулы для произведений косинусов и синусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$$ $$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) — \cos(A+B)]$$

Подставим в правую и левую части:

$$\cos(2x-3) \cdot \cos(2x+3) = \frac{1}{2} [\cos(2x-3 — (2x+3)) + \cos(2x-3 + (2x+3))]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos(-6) + \cos(4x)]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos 6 + \cos 4x]$$

А для правой части:

$$\sin(1+2x) \cdot \sin(1-2x) = \frac{1}{2} [\cos((1+2x) — (1-2x)) — \cos((1+2x) + (1-2x))]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos(4x) — \cos 2]$$

Шаг 2: Сравниваем обе части.

Получаем неравенство:

$$\frac{\cos 6 + \cos 4x}{2} > \frac{\cos 4x — \cos 2}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$\cos 6 + \cos 4x > \cos 4x — \cos 2$$

Вычитаем $\cos 4x$ с обеих сторон:

$$\cos 6 > -\cos 2$$

Теперь добавляем $\cos 2$ с обеих сторон:

$$\cos 6 + \cos 2 > 0$$

Шаг 3: Используем формулу для суммы косинусов.

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 6$, $B = 2$:

$$\cos 6 + \cos 2 = 2 \cos \left( \frac{6+2}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6-2}{2} \right)$$ $$= 2 \cos 4 \cdot \cos 2$$

Таким образом, неравенство превращается в:

$$2 \cos 4 \cdot \cos 2 > 0$$

Шаг 4: Проверим знаки косинусов.

Точка $4$ находится в третьей четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos 4 < 0$$

Точка $2$ находится во второй четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi \quad \Rightarrow \quad \cos 2 < 0$$

Следовательно, произведение $\cos 4 \cdot \cos 2 > 0$, и неравенство доказано.