ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представить в виде суммы:

а) $\sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) =$

$$= \frac{\cos((a + \beta) — (a — \beta)) — \cos((a + \beta) + (a — \beta))}{2} = \frac{1}{2} (\cos 2\beta — \cos 2a);$$

б) $\cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) =$

$$= \frac{\cos((a + \beta) + (a — \beta)) + \cos((a + \beta) — (a — \beta))}{2} = \frac{1}{2} (\cos 2a + \cos 2\beta);$$

в) $\cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) =$

$$= \frac{\cos\left(\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) + \left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) — \left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right)\right)}{2} = \frac{1}{2} (\cos a + \cos \beta);$$

г) $2 \sin(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) =$

$$= 2 \cdot \frac{\sin((a + \beta) + (a — \beta)) + \sin((a + \beta) — (a — \beta))}{2} = \sin 2a + \sin 2\beta;$$

а) $\sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta)$

Для того чтобы выразить произведение синусов через сумму, используем формулу произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

В данном случае, $A = a + \beta$ и $B = a — \beta$. Подставим эти выражения в формулу:

$$\sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) = \frac{1}{2} \left( \cos\left((a + \beta) — (a — \beta)\right) — \cos\left((a + \beta) + (a — \beta)\right) \right)$$

Теперь упрощаем каждую из косинусных частей:

1. $(a + \beta) — (a — \beta) = a + \beta — a + \beta = 2\beta$
2. $(a + \beta) + (a — \beta) = a + \beta + a — \beta = 2a$

Подставляем эти выражения:

$$\sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) = \frac{1}{2} \left( \cos(2\beta) — \cos(2a) \right)$$

Таким образом, получаем:

$$\sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) = \frac{1}{2} (\cos 2\beta — \cos 2a)$$

б) $\cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta)$

Для произведения косинусов используем формулу:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A + B) + \cos(A — B) \right)$$

В данном случае, $A = a + \beta$ и $B = a — \beta$. Подставляем в формулу:

$$\cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \frac{1}{2} \left( \cos\left((a + \beta) + (a — \beta)\right) + \cos\left((a + \beta) — (a — \beta)\right) \right)$$

Теперь упрощаем каждую из косинусных частей:

1. $(a + \beta) + (a — \beta) = a + \beta + a — \beta = 2a$
2. $(a + \beta) — (a — \beta) = a + \beta — a + \beta = 2\beta$

Подставляем эти выражения:

$$\cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \frac{1}{2} \left( \cos(2a) + \cos(2\beta) \right)$$

Таким образом, получаем:

$$\cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \frac{1}{2} (\cos 2a + \cos 2\beta)$$

в) $\cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right)$

Здесь также применяем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A + B) + \cos(A — B) \right)$$

В данном случае, $A = \frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}$ и $B = \frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}$. Подставляем в формулу:

$$\cos (\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})\cdot \cos (\frac{a}{2}-\frac{\beta }{2})=\frac{1}{2}(\cos ((\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})+(\frac{a}{2}-\frac{\beta }{2}))+$$

$$\cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) + \left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) — \left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right)\right) \right)$$

Упрощаем каждую из косинусных частей:

1. $\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) + \left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) = \frac{a}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{a}{2} — \frac{\beta}{2} = a$
2. $\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) — \left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) = \frac{a}{2} + \frac{\beta}{2} — \frac{a}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta$

Подставляем эти выражения:

$$\cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) = \frac{1}{2} \left( \cos(a) + \cos(\beta) \right)$$

Таким образом, получаем:

$$\cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) = \frac{1}{2} (\cos a + \cos \beta)$$

г) $2 \sin(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta)$

Для произведения синуса и косинуса используем формулу:

$$2 \sin A \cdot \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B)$$

В данном случае, $A = a + \beta$ и $B = a — \beta$. Подставляем в формулу:

$$2 \sin(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \sin\left((a + \beta) + (a — \beta)\right) + \sin\left((a + \beta) — (a — \beta)\right)$$

Упрощаем каждую из синусных частей:

1. $(a + \beta) + (a — \beta) = a + \beta + a — \beta = 2a$
2. $(a + \beta) — (a — \beta) = a + \beta — a + \beta = 2\beta$

Подставляем эти выражения:

$$2 \sin(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \sin(2a) + \sin(2\beta)$$

Таким образом, получаем:

$$2 \sin(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \sin 2a + \sin 2\beta$$

Итог:

а) $\sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) = \frac{1}{2} (\cos 2\beta — \cos 2a)$

б) $\cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \frac{1}{2} (\cos 2a + \cos 2\beta)$

в) $\cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a}{2} — \frac{\beta}{2}\right) = \frac{1}{2} (\cos a + \cos \beta)$

г) $2 \sin(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) = \sin 2a + \sin 2\beta$