ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2};$$ $$\frac{}{}$$б)

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) + \sin^2 x = 0;$$ $$\mathrm{}$$в)

$$\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x;$$ $$\frac{}{}$$г)

$$\cos 2x\cdot \cos x=\cos 2.5x\cdot \cos 0.5x$$

а)

$$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2};$$ $$\frac{\sin (3x + x) + \sin (3x — x)}{2} = \frac{\sin \left( \frac{5x}{2} + \frac{3x}{2} \right) + \sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{3x}{2} \right)}{2};$$ $$\sin 4x + \sin 2x = \sin 4x + \sin x;$$ $$\sin 2x — \sin x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi n; \quad \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

б)

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) + \sin^2 x = 0;$$ $$2 \cdot \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} + x — \left( \frac{\pi}{4} — x \right) \right) — \cos \left( \frac{\pi}{4} + x + \left( \frac{\pi}{4} — x \right) \right)}{2} + \frac{1 — \cos 2x}{2} = 0;$$ $$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{2} + \frac{1 — \cos 2x}{2} = 0;$$ $$2 \cos 2x — 2 \cdot 0 + 1 — \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x = -1;$$ $$2x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n.$$

в)

$$\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x;$$ $$\frac{\sin (2x + x) + \sin (2x — x)}{2} = \frac{\sin (x + 2x) + \sin (x — 2x)}{2};$$ $$\sin 3x + \sin x = \sin 3x — \sin x;$$ $$\sin x = -\sin x;$$ $$2 \sin x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ:

$$\pi n.$$

г)

$$\cos 2x \cdot \cos x = \cos 2.5x \cdot \cos 0.5x;$$ $$\frac{\cos (2x + x) + \cos (2x — x)}{2} = \frac{\cos (2.5x + 0.5x) + \cos (2.5x — 0.5x)}{2};$$ $$\cos 3x + \cos x = \cos 3x + \cos 2x;$$ $$\cos 2x — \cos x = 0;$$ $$-2 \sin \frac{2x + x}{2} \cdot \sin \frac{2x — x}{2} = 0;$$ $$\sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 0;$$

Первое значение:

$$\sin \frac{3x}{2} = 0;$$ $$\frac{3x}{2} = \pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{2\pi n}{3}.$$

а) $\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}$

Исходное уравнение:

$$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}.$$

Используем тригонометрические формулы для произведений синуса и косинуса:
Для упрощения произведения синусов и косинусов воспользуемся известной формулой:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right).$$

Применим эту формулу для обеих сторон уравнения.

• Левая часть:

  $$\sin 3x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(3x + x) + \sin(3x — x) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 4x + \sin 2x \right).$$

• Правая часть:

  $$\sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \frac{5x}{2} + \frac{3x}{2} \right) + \sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{3x}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 4x + \sin x \right).$$

Теперь у нас уравнение:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 4x + \sin 2x \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 4x + \sin x \right).$$

Убираем множители $\frac{1}{2}$:

$$\sin 4x + \sin 2x = \sin 4x + \sin x.$$

Убираем $\sin 4x$ из обеих частей:

$$\sin 2x = \sin x.$$

Используем тождество для разности синусов:

$$\sin 2x — \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0.$$

Факторизуем:

$$\sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0.$$

Решаем два уравнения:

• Первое уравнение: $\sin x = 0$

  Решаем для $x$:

  $$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Второе уравнение: $2 \cos x — 1 = 0$

  Решаем для $\cos x$:

  $$2 \cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{2}.$$

  Для этого значения $x$ можно найти как:

  $$x = \pm \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) $2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) + \sin^2 x = 0$

Исходное уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) + \sin^2 x = 0.$$

Используем формулу для произведения синусов:
Воспользуемся формулой:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right).$$

Подставляем $A = \frac{\pi}{4} + x$ и $B = \frac{\pi}{4} — x$:

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} + x — \left( \frac{\pi}{4} — x \right) \right) — \cos \left( \frac{\pi}{4} + x + \left( \frac{\pi}{4} — x \right) \right).$$

Это упрощается до:

$$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{2}.$$

Подставляем в исходное уравнение:
Получаем:

$$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{2} + \sin^2 x = 0.$$

Так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, уравнение становится:

$$\cos 2x + \frac{1 — \cos 2x}{2} = 0.$$

Умножаем обе части на 2:

$$2 \cos 2x + 1 — \cos 2x = 0.$$

Упрощаем:

$$\cos 2x = -1.$$

Решаем уравнение $\cos 2x = -1$:

$$2x = \pi + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

в) $\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x$

Исходное уравнение:

$$\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x.$$

Используем формулы для произведений:
Применяем формулу для суммы синусов:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right).$$

Применяем к обеим частям:

$$\frac{\sin (2x + x) + \sin (2x — x)}{2} = \frac{\sin (x + 2x) + \sin (x — 2x)}{2}.$$

Упростим:

$$\sin 3x + \sin x = \sin 3x — \sin x.$$

Убираем одинаковые элементы:

$$\sin x = -\sin x.$$

Это дает:

$$2 \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 0.$$

Решаем уравнение $\sin x = 0$:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = \pi n.$$

г) $\cos 2x \cdot \cos x = \cos 2.5x \cdot \cos 0.5x$

Исходное уравнение:

$$\cos 2x \cdot \cos x = \cos 2.5x \cdot \cos 0.5x.$$

Используем формулу для произведения косинусов:
Используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A + B) + \cos(A — B) \right).$$

Применяем её к обеим частям:

$$\frac{\cos(2x + x) + \cos(2x — x)}{2} = \frac{\cos(2.5x + 0.5x) + \cos(2.5x — 0.5x)}{2}.$$

Упрощаем:

$$\cos 3x + \cos x = \cos 3x + \cos 2x.$$

Убираем $\cos 3x$ из обеих частей:

$$\cos 2x — \cos x = 0.$$

Используем формулу для разности косинусов:
Это уравнение можно решить следующим образом:

$$-2 \sin \frac{2x + x}{2} \cdot \sin \frac{2x — x}{2} = 0.$$

Упростим:

$$\sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 0.$$

Решаем два уравнения:

• Первое уравнение: $\sin \frac{3x}{2} = 0$

  Решаем:

  $$\frac{3x}{2} = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi n}{3}.$$

• Второе уравнение: $\sin \frac{x}{2} = 0$

  Решаем:

  $$\frac{x}{2} = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{2\pi n}{3}, \quad x = 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $x = \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

б) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

в) $x = \pi n$

г) $x = \frac{2\pi n}{3}; \quad x = 2\pi n$