ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin \left( \frac{\pi}{8} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} — x \right) < 0;$$ $$\frac{\cos \left( \left( \frac{\pi}{8} + x \right) — \left( \frac{\pi}{8} — x \right) \right) — \cos \left( \left( \frac{\pi}{8} + x \right) + \left( \frac{\pi}{8} — x \right) \right)}{2} < 0;$$ $$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{4} < 0;$$ $$\cos 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} < 0;$$ $$\cos 2x < \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Решения неравенства:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{8} + \pi n < x \leq \frac{7\pi}{8} + \pi n;$$

б)

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \geq 0;$$ $$\frac{\sin \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \right) + \sin \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \right)}{2} \geq 0;$$ $$\sin \frac{\pi}{3} + \sin x \geq 0;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \geq 0;$$ $$\sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Решения неравенства:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;$$

в)

$$\sin \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \leq 0;$$ $$\frac{\sin \left( \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) + \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \right) + \sin \left( \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) — \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \right)}{2} \leq 0;$$ $$\sin 2x — \sin \frac{5\pi}{6} \leq 0;$$ $$\sin 2x — \frac{1}{2} \leq 0;$$ $$\sin 2x \leq \frac{1}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Решения неравенства:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{7\pi}{12} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{12} + \pi n;$$

г)

$$\cos \frac{3x + \pi}{6} \cdot \cos \frac{3x — \pi}{6} > 0;$$ $$\frac{\cos \left( \frac{3x + \pi}{6} + \frac{3x — \pi}{6} \right) + \cos \left( \frac{3x + \pi}{6} — \frac{3x — \pi}{6} \right)}{2} > 0;$$ $$\cos x + \cos \frac{\pi}{3} > 0;$$ $$\cos x + \frac{1}{2} > 0;$$ $$\cos x > -\frac{1}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Решения неравенства:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

а) Решение неравенства

$$\sin \left( \frac{\pi}{8} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} — x \right) < 0;$$

Шаг 1: Используем формулы тригонометрии

Мы используем формулы для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) — \cos(A + B) \right]$$

В нашем случае $A = \frac{\pi}{8} + x$ и $B = \frac{\pi}{8} — x$. Подставим их в формулу:

$$\sin (\frac{\pi }{8}+x)\cdot \sin (\frac{\pi }{8}-x)=\frac{1}{2}[\cos ((\frac{\pi }{8}+x)-(\frac{\pi }{8}-x))-$$

$$\sin \left( \frac{\pi}{8} + x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} — x \right) = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \left( \frac{\pi}{8} + x \right) — \left( \frac{\pi}{8} — x \right) \right) — \cos \left( \left( \frac{\pi}{8} + x \right) + \left( \frac{\pi}{8} — x \right) \right) \right]$$

Шаг 2: Упростим выражение

Первое выражение в косинусе:

$$\left( \frac{\pi}{8} + x \right) — \left( \frac{\pi}{8} — x \right) = 2x$$

Второе выражение в косинусе:

$$\left( \frac{\pi}{8} + x \right) + \left( \frac{\pi}{8} — x \right) = \frac{\pi}{4}$$

Теперь получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos 2x — \cos \frac{\pi}{4} \right]$$

Шаг 3: Исходное неравенство

Теперь подставим это в исходное неравенство:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos 2x — \cos \frac{\pi}{4} \right] < 0$$

Умножим обе части на 2, так как это не меняет знака:

$$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{4} < 0$$

Поскольку $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$$\cos 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$$

Шаг 4: Переносим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в правую часть

$$\cos 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5: Находим точки равенства

Равенство выполняется, когда:

$$\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это условие выполняется, когда:

$$2x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n$$

Шаг 6: Найдем решение неравенства

Решения неравенства будут лежать в интервале:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

Разделим на 2:

$$\frac{\pi}{8} + \pi n < x \leq \frac{7\pi}{8} + \pi n$$

Таким образом, решения неравенства:

$$\frac{\pi}{8} + \pi n < x \leq \frac{7\pi}{8} + \pi n$$

б) Решение неравенства

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \geq 0;$$

Шаг 1: Используем формулы тригонометрии

Снова используем формулы для произведения синусов и косинусов:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \sin(A + B) + \sin(A — B) \right]$$

Подставляем $A = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}$ и $B = \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2}$:

$$\sin (\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2})\cdot \cos (\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}[\sin ((\frac{\pi }{6}+\frac{x}{2})+(\frac{\pi }{6}-\frac{x}{2}))+$$

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \right) + \sin \left( \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \right) \right]$$

Упростим выражения:

$$\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$$ $$\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) — \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) = x$$

Теперь получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin \frac{\pi}{3} + \sin x \right]$$

Шаг 2: Подставляем значения

Поскольку $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \right] \geq 0$$

Умножим обе части на 2:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \geq 0$$

Переносим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в правую часть:

$$\sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Найдем точки равенства

Равенство выполняется, когда:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Это происходит, когда:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4: Решение неравенства

Решение неравенства:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$$

в) Решение неравенства

$$\sin \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \leq 0;$$

Шаг 1: Используем формулы тригонометрии

Используем формулы для произведения синусов и косинусов:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \sin(A + B) + \sin(A — B) \right]$$

Подставляем $A = x — \frac{5\pi}{12}$ и $B = x + \frac{5\pi}{12}$:

$$\sin (x-\frac{5\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{5\pi }{12})=\frac{1}{2}[\sin ((x-\frac{5\pi }{12})+(x+\frac{5\pi }{12}))+$$

$$\sin \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) + \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \right) + \sin \left( \left( x — \frac{5\pi}{12} \right) — \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) \right) \right]$$

Упростим:

$$\left( x — \frac{5\pi}{12} \right) + \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) = 2x$$ $$\left( x — \frac{5\pi}{12} \right) — \left( x + \frac{5\pi}{12} \right) = -\frac{5\pi}{6}$$

Теперь получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin 2x — \sin \frac{5\pi}{6} \right]$$

Шаг 2: Упростим неравенство

Поскольку $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin 2x — \frac{1}{2} \right] \leq 0$$

Умножим обе части на 2:

$$\sin 2x — \frac{1}{2} \leq 0$$

Переносим $\frac{1}{2}$ в правую часть:

$$\sin 2x \leq \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдем точки равенства

Равенство выполняется, когда:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}$$

Это происходит, когда:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Разделим на 2:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \pi n$$

Шаг 4: Решение неравенства

Решения неравенства:

$$-\frac{7\pi}{12} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{12} + \pi n$$

г) Решение неравенства

$$\cos \frac{3x + \pi}{6} \cdot \cos \frac{3x — \pi}{6} > 0;$$

Шаг 1: Используем формулы тригонометрии

Используем формулы для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) + \cos(A + B) \right]$$

Подставляем $A = \frac{3x + \pi}{6}$ и $B = \frac{3x — \pi}{6}$:

$$\cos \frac{3x+\pi }{6}\cdot \cos \frac{3x-\pi }{6}=\frac{1}{2}[\cos (\frac{3x+\pi }{6}-\frac{3x-\pi }{6})+$$

$$\cos \frac{3x + \pi}{6} \cdot \cos \frac{3x — \pi}{6} = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{3x + \pi}{6} — \frac{3x — \pi}{6} \right) + \cos \left( \frac{3x + \pi}{6} + \frac{3x — \pi}{6} \right) \right]$$

Упростим:

$$\frac{3x + \pi}{6} — \frac{3x — \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$ $$\frac{3x + \pi}{6} + \frac{3x — \pi}{6} = x$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \right]$$

Шаг 2: Упростим неравенство

Поскольку $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos x + \frac{1}{2} \right] > 0$$

Умножим обе части на 2:

$$\cos x + \frac{1}{2} > 0$$

Переносим $\frac{1}{2}$ в правую часть:

$$\cos x > -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдем точки равенства

Равенство выполняется, когда:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Это происходит, когда:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Решение неравенства

Решение неравенства:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$