ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{24}\right)$;

$$y = \frac{\sin\left(\left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x — \frac{\pi}{24}\right)\right) + \sin\left(\left(x + \frac{\pi}{8}\right) — \left(x — \frac{\pi}{24}\right)\right)}{2};$$ $$y = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{2\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{24}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right);$$ $$y = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4}, \quad \text{где } t = 2x + \frac{\pi}{12};$$

Множество значений функции:

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \sin t \leq \frac{1}{2};$$ $$-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4} \leq \frac{3}{4};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{4}; \, y_{\text{наиб}} = \frac{3}{4}$.

б) $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

$$y = \frac{\cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right) — \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right)}{2};$$ $$y = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) — \cos(2x) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} — \cos(2x) \right) = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos(2x);$$

Множество значений функции:

$$-1 \leq \cos(2x) \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \cos(2x) \leq \frac{1}{2};$$ $$-\frac{3}{4} \leq -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos(2x) \leq \frac{1}{4};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{3}{4}; \, y_{\text{наиб}} = \frac{1}{4}$.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{24}\right)$;

Для решения начнем с преобразования исходного выражения с помощью тригонометрических формул. Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \sin(A + B) + \sin(A — B) \right].$$

Подставим $A = x + \frac{\pi}{8}$ и $B = x — \frac{\pi}{24}$ в эту формулу:

$$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{24}\right)$$ $$y = \frac{1}{2} \left[ \sin\left( \left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x — \frac{\pi}{24}\right) \right) + \sin\left( \left(x + \frac{\pi}{8}\right) — \left(x — \frac{\pi}{24}\right) \right) \right].$$

Теперь упростим выражения для аргументов синусов:

$\left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x — \frac{\pi}{24}\right) = 2x + \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{24} = 2x + \frac{3\pi}{24} — \frac{\pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12}$.

$\left(x + \frac{\pi}{8}\right) — \left(x — \frac{\pi}{24}\right) = x + \frac{\pi}{8} — x + \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную формулу:

$$y = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right].$$

Знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$y = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2} \right].$$

Теперь введем замену переменной для удобства:

$$t = 2x + \frac{\pi}{12}.$$

Тогда функция $y$ примет вид:

$$y = \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4}.$$

Множество значений функции:

Поскольку $\sin t$ — это синус, его значения изменяются в пределах от -1 до 1, то есть:

$$-1 \leq \sin t \leq 1.$$

Теперь найдем границы для выражения $\frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4}$.

Минимальное значение $\sin t = -1$:

$$y_{\text{min}} = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}.$$

Максимальное значение $\sin t = 1$:

$$y_{\text{max}} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = -\frac{1}{4}$, а наибольшее значение — $y_{\text{max}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{4}; \, y_{\text{наиб}} = \frac{3}{4}$.

б) $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

Для преобразования произведения синусов воспользуемся формулой:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) — \cos(A + B) \right].$$

Подставляем $A = x — \frac{\pi}{3}$ и $B = x + \frac{\pi}{3}$:

$$y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ $$y = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right) — \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right) \right].$$

Упростим выражения для аргументов косинусов:

$\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

$\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{3}\right) = 2x$.

Подставляем эти значения в формулу:

$$y = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) — \cos(2x) \right].$$

Знаем, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, следовательно:

$$y = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} — \cos(2x) \right] = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos(2x).$$

Множество значений функции:

Поскольку $\cos(2x)$ — это косинус, его значения изменяются в пределах от -1 до 1:

$$-1 \leq \cos(2x) \leq 1.$$

Теперь найдем границы для выражения $-\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos(2x)$.

Минимальное значение $\cos(2x) = 1$:

$$y_{\text{min}} = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} = -\frac{3}{4}.$$

Максимальное значение $\cos(2x) = -1$:

$$y_{\text{max}} = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{\text{min}} = -\frac{3}{4}$, а наибольшее значение — $y_{\text{max}} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{3}{4}; \, y_{\text{наиб}} = \frac{1}{4}$.