ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=2\mid \sin (x-\frac{5\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{5\pi }{12})\mid ;$

$y=2\cdot \frac{1}{2}\mid \sin ((x-\frac{5\pi }{12})+(x+\frac{5\pi }{12}))+\sin ((x-\frac{5\pi }{12})-(x+\frac{5\pi }{12}))\mid ;$

$y=\mid \sin 2x+\sin \frac{-10\pi }{12}\mid =\mid \sin 2x-\sin \frac{5\pi }{6}\mid =\mid \sin 2x-\frac{1}{2}\mid ;$

1) Построим одну дугу графика функции $y=\sin x$, а затем:

• Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k=2$;
• Переместим ее на $0,5$ единиц вниз вдоль оси ординат;
• Достроим график функции;

2) Отразим относительно оси $Ox$ часть графика, лежащую под ней:

б) $y=-3\mid \cos \frac{3x+\pi }{6}\cdot \cos \frac{3x-\pi }{6}\mid ;$

$y=-3\cdot \frac{1}{2}\mid \cos (\frac{3x+\pi }{6}+\frac{3x-\pi }{6})+\cos (\frac{3x+\pi }{6}-\frac{3x-\pi }{6})\mid ;$

$y=-\frac{3}{2}\mid \cos \frac{6x}{6}+\cos \frac{2\pi }{6}\mid =-\frac{3}{2}\mid \cos x+\cos \frac{\pi }{3}\mid =-\frac{3}{2}\mid \cos x+\frac{1}{2}\mid ;$

1) Построим одну дугу графика функции $y=\cos x$, а затем:

• Переместим ее на $0,5$ единиц вверх вдоль оси ординат;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k=1,5$;
• Достроим график функции;

2) Отразим относительно оси $Ox$ часть графика, лежащую над ней:

а) $y=2\mid \sin (x-\frac{5\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{5\pi }{12})\mid$

Шаг 1: Преобразование выражения

Начнем с использования тригонометрической формулы для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A\cdot \cos B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)+\sin (A-B))$$

Подставим $A=x-\frac{5\pi }{12}$ и $B=x+\frac{5\pi }{12}$:

$$\sin (x-\frac{5\pi }{12})\cdot \cos (x+\frac{5\pi }{12})=\frac{1}{2}(\sin ((x-\frac{5\pi }{12})+$$

$$+(x+\frac{5\pi }{12}))+\sin ((x-\frac{5\pi }{12})-(x+\frac{5\pi }{12})))$$

Упростим аргументы синусов:

• $(x-\frac{5\pi }{12})+(x+\frac{5\pi }{12})=2x$
• $(x-\frac{5\pi }{12})-(x+\frac{5\pi }{12})=-\frac{10\pi }{12}=-\frac{5\pi }{6}$

Тогда:

$$y=2\cdot \frac{1}{2}\mid \sin 2x+\sin (-\frac{5\pi }{6})\mid$$

Так как $\sin (-\theta )=-\sin \theta$, получаем:

$$y=\mid \sin 2x-\sin \frac{5\pi }{6}\mid$$

Известно, что $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, поэтому:

$$y=\mid \sin 2x-\frac{1}{2}\mid$$

Это окончательное преобразование функции. Теперь мы можем исследовать график этой функции.

Шаг 2: Построение графика

1. Построение графика функции $y=\sin x$:
   Построим одну дугу синусоиды, которая имеет период $2\pi$. Для этого определим несколько точек на графике функции $y=\sin x$ в интервале от $0$ до $\pi$, так как это будет одна дуга.
2. Сжатие графика к оси $Oy$ с коэффициентом $k=2$:
   Умножим значения функции $y=\sin x$ на 2, что приведет к растяжению графика по оси $y$ с коэффициентом 2. То есть все значения функции будут удвоены.
3. Перемещение графика на 0,5 единиц вниз:
   Теперь перенесем график вниз вдоль оси $y$ на 0,5 единиц. Для этого из всех значений функции $y$ вычитаем 0,5.
4. Достроение графика:
   После выполнения этих операций получаем преобразованный график.
5. Отражение относительно оси $Ox$ части графика, лежащей под ней:
   Все точки графика, находящиеся ниже оси $Ox$, отражаются относительно этой оси, то есть их $y$-координаты становятся положительными.

б) $y=-3\mid \cos \frac{3x+\pi }{6}\cdot \cos \frac{3x-\pi }{6}\mid$

Шаг 1: Преобразование выражения

Используем ту же формулу для произведения косинусов:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B))$$

Подставим $A=\frac{3x+\pi }{6}$ и $B=\frac{3x-\pi }{6}$:

$$\cos \frac{3x+\pi }{6}\cdot \cos \frac{3x-\pi }{6}=\frac{1}{2}(\cos (\frac{3x+\pi }{6}+\frac{3x-\pi }{6})+\cos (\frac{3x+\pi }{6}-\frac{3x-\pi }{6}))$$

Упростим аргументы косинусов:

• $\frac{3x+\pi }{6}+\frac{3x-\pi }{6}=\frac{6x}{6}=x$
• $\frac{3x+\pi }{6}-\frac{3x-\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$

Тогда:

$$y=-3\cdot \frac{1}{2}\mid \cos x+\cos \frac{\pi }{3}\mid$$

Так как $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, получаем:

$$y=-\frac{3}{2}\mid \cos x+\frac{1}{2}\mid$$

Это окончательное преобразование функции. Теперь рассмотрим, как будет выглядеть график этой функции.

Шаг 2: Построение графика

1. Построение графика функции $y=\cos x$:
   Построим одну дугу косинусоиды, которая имеет период $2\pi$.
2. Перемещение графика на 0,5 единиц вверх:
   Мы перемещаем весь график вверх на 0,5 единицы вдоль оси $y$.
3. Отражение относительно оси абсцисс:
   Отразим весь график относительно оси $Ox$, то есть инвертируем знаки всех значений функции.
4. Растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k=1,5$:
   Умножим все значения функции на коэффициент $k=1,5$, что растянет график по вертикали.
5. Достроение графика:
   После всех преобразований мы получим график функции.
6. Отражение относительно оси $Ox$ части графика, лежащей над ней:
   Все точки, расположенные выше оси $Ox$, будут отражены относительно этой оси.