ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представить в виде суммы:

а) $\cos a\cdot \sin (a+\beta )=\sin (a+\beta )\cdot \cos a=$
$=\frac{\sin ((a+\beta )+a)+\sin ((a+\beta )-a)}{2}=\frac{1}{2}(\sin (2a+\beta )+\sin \beta );$

б) $\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)=$
$=\frac{\cos (({60}^{\circ }+a)-({60}^{\circ }-a))-\cos (({60}^{\circ }+a)+({60}^{\circ }-a))}{2}=$
$=\frac{1}{2}(\cos 2a-\cos {120}^{\circ });$

в) $\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )=\frac{\sin (\beta +(a+\beta ))+\sin (\beta -(a+\beta ))}{2}=$
$=\frac{1}{2}(\sin (2\beta +a)-\sin a);$

г) $\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=$
$=\frac{\cos ((a+\frac{\pi }{4})+(a-\frac{\pi }{4}))+\cos ((a+\frac{\pi }{4})-(a-\frac{\pi }{4}))}{2}$$=$$\frac{1}{2}(\cos 2a+\cos \frac{\pi }{2})$

а) $\cos a\cdot \sin (a+\beta )$

Используем формулы для преобразования произведений тригонометрических функций в суммы.

Шаг 1. Применяем формулу для произведения синуса и косинуса:

Известно, что для любых углов $x$ и $y$ верна формула:

$$\cos x\cdot \sin y=\frac{1}{2}(\sin (x+y)-\sin (x-y))\mathrm{.}$$

Подставляем $x=a$ и $y=a+\beta$:

$$\cos a\cdot \sin (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin ((a+\beta )+a)-\sin ((a+\beta )-a))\mathrm{.}$$

Шаг 2. Упростим выражения внутри синусов:

$$\sin ((a+\beta )+a)=\sin (2a+\beta ),$$$$\sin ((a+\beta )-a)=\sin (\beta )\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\cos a\cdot \sin (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (2a+\beta )-\sin \beta )\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos a\cdot \sin (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (2a+\beta )-\sin \beta )\mathrm{.}$$

б) $\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)$

Для произведения двух синусов используем формулу:

$$\sin x\cdot \sin y=\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))\mathrm{.}$$

Подставляем $x={60}^{\circ }+a$ и $y={60}^{\circ }-a$:

$$\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)=\frac{1}{2}(\cos (({60}^{\circ }+a)-({60}^{\circ }-a))-\cos (({60}^{\circ }+a)+({60}^{\circ }-a)))\mathrm{.}$$

Шаг 1. Упростим выражения внутри косинусов:

$$({60}^{\circ }+a)-({60}^{\circ }-a)=2a,$$$$({60}^{\circ }+a)+({60}^{\circ }-a)={120}^{\circ }\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)=\frac{1}{2}(\cos (2a)-\cos ({120}^{\circ }))\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)=\frac{1}{2}(\cos (2a)-\cos ({120}^{\circ }))\mathrm{.}$$

в) $\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )$

Для произведения синуса и косинуса опять используем соответствующую формулу:

$$\sin x\cdot \cos y=\frac{1}{2}(\sin (x+y)+\sin (x-y))\mathrm{.}$$

Подставляем $x=\beta$ и $y=a+\beta$:

$$\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (\beta +(a+\beta ))+\sin (\beta -(a+\beta )))\mathrm{.}$$

Шаг 1. Упростим выражения внутри синусов:

$$\sin (\beta +(a+\beta ))=\sin (2\beta +a),$$$$\sin (\beta -(a+\beta ))=\sin (-a)=-\sin a\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (2\beta +a)-\sin a)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (2\beta +a)-\sin a)\mathrm{.}$$

г) $\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})$

Для произведения двух косинусов используем формулу:

$$\cos x\cdot \cos y=\frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y))\mathrm{.}$$

Подставляем $x=a+\frac{\pi }{4}$ и $y=a-\frac{\pi }{4}$:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}(\cos ((a+\frac{\pi }{4})+(a-\frac{\pi }{4}))+$$

$$+\cos ((a+\frac{\pi }{4})-(a-\frac{\pi }{4})))\mathrm{.}$$

Шаг 1. Упростим выражения внутри косинусов:

$$(a+\frac{\pi }{4})+(a-\frac{\pi }{4})=2a,$$$$(a+\frac{\pi }{4})-(a-\frac{\pi }{4})=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}(\cos (2a)+\cos \left(\frac{\pi }{2}\right))\mathrm{.}$$

Так как $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$, то:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}\cos (2a)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}\cos (2a)\mathrm{.}$$

Итоговые результаты:

1. $\cos a\cdot \sin (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (2a+\beta )-\sin \beta )$
2. $\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)=\frac{1}{2}(\cos (2a)-\cos ({120}^{\circ }))$
3. $\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )=\frac{1}{2}(\sin (2\beta +a)-\sin a)$
4. $\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}\cos (2a)$