ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде суммы:

a) sin10° · cos8° · cos6°;

б) 4sin25° · cos15° · sin5°.

Представить в виде суммы:

а) $\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ = \frac{\sin(10^\circ + 8^\circ) + \sin(10^\circ — 8^\circ)}{2} \cdot \cos 6^\circ =$

$= \frac{1}{2} (\sin 18^\circ \cdot \cos 6^\circ + \sin 2^\circ \cdot \cos 6^\circ) =$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(18^\circ + 6^\circ) + \sin(18^\circ — 6^\circ)}{2} + \frac{\sin(2^\circ + 6^\circ) + \sin(2^\circ — 6^\circ)}{2} \right) =$

$= \frac{1}{4} (\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ);$

б) $4 \sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ = 4 \cdot \frac{\sin(25^\circ + 15^\circ) + \sin(25^\circ — 15^\circ)}{2} \cdot \sin 5^\circ =$

$= 2 (\sin 40^\circ \cdot \sin 5^\circ + \sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ) =$

$= 2 \left( \frac{\cos(40^\circ — 5^\circ) — \cos(40^\circ + 5^\circ)}{2} + \frac{\cos(10^\circ — 5^\circ) — \cos(10^\circ + 5^\circ)}{2} \right) =$

$= \cos 35^\circ — \cos 45^\circ + \cos 5^\circ — \cos 15^\circ;$

а)

Дано выражение:

$$\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ$$

Шаг 1. Применение формулы произведения синуса и косинуса:
Для начала применим формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

Применим эту формулу к первому произведению $\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ$, чтобы упростить выражение:

$$\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(10^\circ + 8^\circ) + \sin(10^\circ — 8^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 18^\circ + \sin 2^\circ \right)$$

Шаг 2. Умножение на второй косинус:
Теперь умножим это выражение на второй косинус $\cos 6^\circ$:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 18^\circ + \sin 2^\circ \right) \cdot \cos 6^\circ$$

Применим снова формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

для выражения $\sin 18^\circ \cdot \cos 6^\circ$:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(18^\circ + 6^\circ) + \sin(18^\circ — 6^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 24^\circ + \sin 12^\circ \right)$$

Аналогично, для $\sin 2^\circ \cdot \cos 6^\circ$:

$$\sin 2^\circ \cdot \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(2^\circ + 6^\circ) + \sin(2^\circ — 6^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 8^\circ + \sin (-4^\circ) \right)$$

Поскольку $\sin (-4^\circ) = -\sin 4^\circ$, получаем:

$$= \frac{1}{2} \left( \sin 8^\circ — \sin 4^\circ \right)$$

Шаг 3. Подстановка в исходное выражение:
Теперь подставим оба этих выражения в исходное:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 18^\circ + \sin 2^\circ \right) \cdot \cos 6^\circ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \left( \sin 24^\circ + \sin 12^\circ \right) + \frac{1}{2} \left( \sin 8^\circ — \sin 4^\circ \right) \right)$$ $$= \frac{1}{4} \left( \sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ \right)$$

Ответ (а):

$$\frac{1}{4} \left( \sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ \right)$$

б)

Дано выражение:

$$4 \sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 1. Применение формулы произведения синуса и косинуса:
Сначала применим формулу для произведения синуса и косинуса к первому произведению $\sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ$:

$$\sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(25^\circ + 15^\circ) + \sin(25^\circ — 15^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 40^\circ + \sin 10^\circ \right)$$

Шаг 2. Умножение на второй синус:
Теперь умножим это на второй синус $\sin 5^\circ$:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 40^\circ + \sin 10^\circ \right) \cdot \sin 5^\circ$$

Применяем формулу для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

Применим ее к каждому произведению:

Для $\sin 40^\circ \cdot \sin 5^\circ$:

$$\sin 40^\circ \cdot \sin 5^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(40^\circ — 5^\circ) — \cos(40^\circ + 5^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \cos 35^\circ — \cos 45^\circ \right)$$

Для $\sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ$:

$$\sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(10^\circ — 5^\circ) — \cos(10^\circ + 5^\circ) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \cos 5^\circ — \cos 15^\circ \right)$$

Шаг 3. Подстановка в исходное выражение:
Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$4 \sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \left( \cos 35^\circ — \cos 45^\circ \right) + \frac{1}{2} \left( \cos 5^\circ — \cos 15^\circ \right) \right)$$ $$= 2 \left( \cos 35^\circ — \cos 45^\circ + \cos 5^\circ — \cos 15^\circ \right)$$

Ответ (б):

$$\cos 35^\circ — \cos 45^\circ + \cos 5^\circ — \cos 15^\circ$$

Итоговый ответ:

а) $\frac{1}{4} \left( \sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ \right)$

б) $\cos 35^\circ — \cos 45^\circ + \cos 5^\circ — \cos 15^\circ$