ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде суммы:

a) sinх · sinу · sinz;

б) cosх · cosу · cosz.

Представить в виде суммы:

а) $\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}\cdot \sin z=$

$=\frac{1}{2}(\sin z\cdot \cos (x-y)-\sin z\cdot \cos (x+y))=$

$=\frac{1}{2}(\frac{\sin (z+(x-y))+\sin (z-(x-y))}{2}-\frac{\sin (z+(x+y))+\sin (z-(x+y))}{2})=$

$=\frac{1}{4}(\sin (z+x-y)+\sin (z-x+y)-\sin (z+x+y)-\sin (z-x-y))=$

$=\frac{1}{4}(\sin (x+y-z)+\sin (x+z-y)+\sin (y+z-x)-\sin (x+y+z));$

б) $\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}\cdot \cos z=$

$=\frac{1}{2}(\cos (x+y)\cdot \cos z+\cos (x-y)\cdot \cos z)=$

$=\frac{1}{2}(\frac{\cos ((x+y)+z)+\cos ((x+y)-z)}{2}+\frac{\cos ((x-y)+z)+\cos ((x-y)-z)}{2})=$

$=\frac{1}{4}(\cos (x+y+z)+\cos (x+y-z)+\cos (x+z-y)+\cos (x-y-z))=$

$=\frac{1}{4}(\cos (x+y-z)+\cos (x+z-y)+\cos (y+z-x)+\cos (x+y+z))$

Задача состоит в том, чтобы выразить произведения тригонометрических функций в виде суммы, используя стандартные тригонометрические формулы. Мы рассмотрим два произведения: $\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z$ и $\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z$. Для этого будем использовать формулы для преобразования произведений тригонометрических функций в суммы.

а) $\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z$

Использование формулы для произведения синусов:

Для начала используем формулу для произведения двух синусов:

$$\sin A\cdot \sin B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)-\cos (A+B))$$

Таким образом, выразим произведение $\sin x\cdot \sin y$:

$$\sin x\cdot \sin y=\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))$$

Умножение на $\sin z$:

Теперь умножим обе части на $\sin z$:

$$\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z=\left(\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))\right)\cdot \sin z$$

Это даёт:

$$\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z=\frac{1}{2}(\sin z\cdot \cos (x-y)-\sin z\cdot \cos (x+y))$$

Использование формул для произведений синуса и косинуса:

Мы теперь преобразуем произведение $\sin z\cdot \cos A$ с помощью следующей формулы:

$$\sin A\cdot \cos B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)+\sin (A-B))$$

Применим её для $\sin z\cdot \cos (x-y)$:

$$\sin z\cdot \cos (x-y)=\frac{1}{2}(\sin (z+(x-y))+\sin (z-(x-y)))$$

Аналогично для $\sin z\cdot \cos (x+y)$:

$$\sin z\cdot \cos (x+y)=\frac{1}{2}(\sin (z+(x+y))+\sin (z-(x+y)))$$

Подставляем эти выражения:

Подставляем их в исходное выражение:

$$\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\sin (z+(x-y))+\sin (z-(x-y)))-$$

$$-\frac{1}{2}(\sin (z+(x+y))+\sin (z-(x+y)))]$$

Упрощаем:

$$=\frac{1}{4}[\sin (z+x-y)+\sin (z-x+y)-\sin (z+x+y)-\sin (z-x-y)]$$

Итоговое выражение:

Перегруппировав слагаемые, получаем окончательное выражение:

$$\sin x\cdot \sin y\cdot \sin z=\frac{1}{4}(\sin (x+y-z)+\sin (x+z-y)+\sin (y+z-x)-\sin (x+y+z))$$

б) $\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z$

Использование формулы для произведения косинусов:

Начнём с использования формулы для произведения двух косинусов:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B))$$

Таким образом, выразим произведение $\cos x\cdot \cos y$:

$$\cos x\cdot \cos y=\frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y))$$

Умножение на $\cos z$:

Теперь умножим обе части на $\cos z$:

$$\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z=\left(\frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y))\right)\cdot \cos z$$

Это даёт:

$$\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z=\frac{1}{2}(\cos (x+y)\cdot \cos z+\cos (x-y)\cdot \cos z)$$

Использование формул для произведений косинусов:

Для произведений $\cos A\cdot \cos B$ применим ту же формулу, что и раньше:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B))$$

Для $\cos (x+y)\cdot \cos z$ и $\cos (x-y)\cdot \cos z$ это даст:

$$\cos (x+y)\cdot \cos z=\frac{1}{2}(\cos ((x+y)+z)+\cos ((x+y)-z))$$

И для $\cos (x-y)\cdot \cos z$:

$$\cos (x-y)\cdot \cos z=\frac{1}{2}(\cos ((x-y)+z)+\cos ((x-y)-z))$$

Подставляем эти выражения:

Подставим их в исходное выражение:

$$\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\cos ((x+y)+z)+\cos ((x+y)-z))+$$

$$+\frac{1}{2}(\cos ((x-y)+z)+\cos ((x-y)-z))]$$

Упрощаем:

$$=\frac{1}{4}[\cos (x+y+z)+\cos (x+y-z)+\cos (x+z-y)+\cos (x-y-z)]$$

Итоговое выражение:

Таким образом, окончательное выражение для произведения косинусов:

$$\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z=\frac{1}{4}(\cos (x+y-z)+\cos (x+z-y)+\cos (y+z-x)+\cos (x+y+z))$$