ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде суммы:

a) sin²х · cos4х;

б) cos²2х · sin3x.

Представить в виде суммы:

а) $\sin^2 x \cdot \cos 4x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \cdot \cos 4x =$

$= \frac{1}{2} (\cos 4x — \cos 4x \cdot \cos 2x) = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \cos 4x}{2} — \frac{\cos (4x + 2x) + \cos (4x — 2x)}{2} \right) =$

$= \frac{1}{4} (2 \cos 4x — \cos 6x — \cos 2x);$

б) $\cos^2 2x \cdot \sin 3x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \cdot \sin 3x =$

$= \frac{1}{2} (\sin 3x + \sin 3x \cdot \cos 4x) = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \sin 3x}{2} + \frac{\sin (3x + 4x) + \sin (3x — 4x)}{2} \right) =$

$= \frac{1}{4} (2 \sin 3x + \sin 7x — \sin x);$

а) $\sin^2 x \cdot \cos 4x$

Начнем с выражения:

$$\sin^2 x \cdot \cos 4x$$

Используем тригонометрическое тождество для $\sin^2 x$:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Тогда исходное выражение можно переписать как:

$$\sin^2 x \cdot \cos 4x = \left( \frac{1 — \cos 2x}{2} \right) \cdot \cos 4x$$

Раскроем скобки:

$$\frac{1 — \cos 2x}{2} \cdot \cos 4x = \frac{1}{2} \cdot \cos 4x — \frac{1}{2} \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x$$

Получаем:

$$= \frac{1}{2} \cos 4x — \frac{1}{2} \cos 2x \cdot \cos 4x$$

Применим формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) + \cos(A + B) \right)$$

В нашем случае $A = 2x$ и $B = 4x$, подставляем:

$$\cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2} \left( \cos(4x — 2x) + \cos(4x + 2x) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos 6x \right)$$

Теперь подставляем это в наше выражение:

$$\frac{1}{2} \cos 4x — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos 6x \right) = \frac{1}{2} \cos 4x — \frac{1}{4} \left( \cos 2x + \cos 6x \right)$$

Упростим:

$$= \frac{1}{4} \left( 2 \cos 4x — \cos 2x — \cos 6x \right)$$

Итак, окончательное выражение:

$$\sin^2 x \cdot \cos 4x = \frac{1}{4} \left( 2 \cos 4x — \cos 2x — \cos 6x \right)$$

б) $\cos^2 2x \cdot \sin 3x$

Начнем с выражения:

$$\cos^2 2x \cdot \sin 3x$$

Используем тригонометрическое тождество для $\cos^2 2x$:

$$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$$

Тогда исходное выражение можно переписать как:

$$\cos^2 2x \cdot \sin 3x = \left( \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) \cdot \sin 3x$$

Раскроем скобки:

$$\frac{1 + \cos 4x}{2} \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \cdot \sin 3x + \frac{1}{2} \cdot \cos 4x \cdot \sin 3x$$

Получаем:

$$= \frac{1}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 4x \cdot \sin 3x$$

Применим формулу для произведения косинуса и синуса:

$$\cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) — \sin(A — B) \right)$$

В нашем случае $A = 4x$ и $B = 3x$, подставляем:

$$\cos 4x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x + 3x) — \sin(4x — 3x) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 7x — \sin x \right)$$

Теперь подставляем это в наше выражение:

$$\frac{1}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \sin 7x — \sin x \right) = \frac{1}{2} \sin 3x + \frac{1}{4} \left( \sin 7x — \sin x \right)$$

Упростим:

$$= \frac{1}{4} \left( 2 \sin 3x + \sin 7x — \sin x \right)$$

Итак, окончательное выражение:

$$\cos^2 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \left( 2 \sin 3x + \sin 7x — \sin x \right)$$

Ответы:

а) $\sin^2 x \cdot \cos 4x = \frac{1}{4} (2 \cos 4x — \cos 2x — \cos 6x)$

б) $\cos^2 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} (2 \sin 3x + \sin 7x — \sin x)$