ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите иррациональность числа:

а) $\sqrt{2}$

б) $\sqrt{3}$

в) $1-\sqrt{3}$

г) $\sqrt{3}-\sqrt{15}$

Доказать иррациональность чисел:

а) $\sqrt{2}$:

Допустим $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$, очевидно, что $\sqrt{2}\mathrm{\notin }\mathbb{Z}$, значит:

$$\sqrt{2}=\frac{m}{n}\text{— несократимая обыкновенная дробь, то есть }m\perp n;$$$$(\sqrt{2}{)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2;$$

Отсюда следует:

$$m^2:n^2\Rightarrow m^2:n\Rightarrow m\cdot m:n\Rightarrow m:n;$$

Возникло противоречие, значит $\sqrt{2}$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

б) $\sqrt{3}$:

Допустим $\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$, очевидно, что $\sqrt{3}\mathrm{\notin }\mathbb{Z}$, значит:

$$\sqrt{3}=\frac{m}{n}\text{— несократимая обыкновенная дробь, то есть }m\perp n;$$$$(\sqrt{3}{)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\Rightarrow 3=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=3n^2;$$

Отсюда следует:

$$m^2:n^2\Rightarrow m^2:n\Rightarrow m\cdot m:n\Rightarrow m:n;$$

Возникло противоречие, значит $\sqrt{3}$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

в) $1-\sqrt{3}$:

Допустим $(1-\sqrt{3})\in \mathbb{Q}$, тогда:

$$1-\sqrt{3}=r,\text{ где }r\in \mathbb{Q};$$$$\sqrt{3}=(1-r)\in \mathbb{Q};$$

Очевидно, что $\sqrt{3}\mathrm{\notin }\mathbb{Z}$, значит:

$$\sqrt{3}=\frac{m}{n}\text{— несократимая обыкновенная дробь, то есть }m\perp n;$$$$(\sqrt{3}{)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\Rightarrow 3=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=3n^2;$$$$m^2:n^2\Rightarrow m^2:n\Rightarrow m\cdot m:n\Rightarrow m:n;$$

Возникло противоречие, значит $(1-\sqrt{3})$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

г) $\sqrt{3}-\sqrt{15}$:

Допустим $(\sqrt{3}-\sqrt{15})\in \mathbb{Q}$, тогда:

$$\sqrt{3}-\sqrt{15}=r,\text{ где }r\in \mathbb{Q};$$$$(\sqrt{3}-\sqrt{15}{)}^2=r^2;$$$$3-2\sqrt{45}+15=r^2;$$$$2\sqrt{45}=18-r^2;$$$$6\sqrt{5}=18-r^2;$$$$\sqrt{5}=\frac{18-r^2}{6}\in \mathbb{Q};$$

Очевидно, что $\sqrt{5}\mathrm{\notin }\mathbb{Z}$, значит:

$$\sqrt{5}=\frac{m}{n}\text{— несократимая обыкновенная дробь, то есть }m\perp n;$$$$(\sqrt{5}{)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\Rightarrow 5=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=5n^2;$$$$m^2:n^2\Rightarrow m^2:n\Rightarrow m\cdot m:n\Rightarrow m:n;$$

Возникло противоречие, значит $(\sqrt{3}-\sqrt{15})$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

а) Доказательство иррациональности $\sqrt{2}$:

Шаг 1: Предположим, что $\sqrt{2}$ рационально.

Предположим, что $\sqrt{2}$ может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби:

$$\sqrt{2}=\frac{m}{n},$$

где $m$ и $n$ — целые числа, причем дробь несократима, то есть $m$ и $n$ взаимно просты, то есть $\gcd (m,n)=1$. То есть наименьший общий делитель чисел $m$ и $n$ равен 1.

Шаг 2: Возведем обе стороны уравнения в квадрат.

Подставляем в уравнение и возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{2}{)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\mathrm{.}$$

Это даёт:

$$2=\frac{m^2}{n^2}\mathrm{.}$$

Перемножив обе части на $n^2$, получаем:

$$m^2=2n^2\mathrm{.}$$

Таким образом, $m^2$ — четное число, так как оно равно удвоенному числу $n^2$, то есть делится на 2.

Шаг 3: Выводим, что $m$ — четное.

Если $m^2$ чётное, то и $m$ должно быть чётным, потому что квадрат нечётного числа всегда остаётся нечётным. Таким образом, $m=2k$, где $k$ — целое число.

Шаг 4: Подставляем $m=2k$ в уравнение.

Теперь подставим $m=2k$ в исходное уравнение $m^2=2n^2$:

$$(2k{)}^2=2n^2\Rightarrow 4k^2=2n^2\Rightarrow 2k^2=n^2\mathrm{.}$$

Получаем, что $n^2$ тоже чётное, а значит, и $n$ должно быть чётным.

Шаг 5: Противоречие.

Теперь мы пришли к выводу, что и $m$, и $n$ чётные, но это противоречит нашему первоначальному предположению, что $m$ и $n$ взаимно просты, то есть $\gcd (m,n)=1$. Если оба числа чётные, их наибольший общий делитель хотя бы 2.

Шаг 6: Заключение.

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше первоначальное предположение, что $\sqrt{2}$ рационально, неверно. Таким образом, $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Ответ: $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

б) Доказательство иррациональности $\sqrt{3}$:

Шаг 1: Предположим, что $\sqrt{3}$ рационально.

Предположим, что $\sqrt{3}$ можно представить в виде несократимой дроби:

$$\sqrt{3}=\frac{m}{n},$$

где $m$ и $n$ взаимно просты.

Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{3}{)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2\Rightarrow 3=\frac{m^2}{n^2}\mathrm{.}$$

Перемножив обе части на $n^2$, получаем:

$$m^2=3n^2\mathrm{.}$$

Это означает, что $m^2$ делится на 3.

Шаг 3: Выводим, что $m$ делится на 3.

Поскольку $m^2$ делится на 3, то и $m$ должно делиться на 3, так как квадрат числа делится на 3 только в случае, если само число делится на 3.

Шаг 4: Подставляем $m=3k$ в уравнение.

Пусть $m=3k$, где $k$ — целое число. Подставляем это в уравнение $m^2=3n^2$:

$$(3k{)}^2=3n^2\Rightarrow 9k^2=3n^2\Rightarrow 3k^2=n^2\mathrm{.}$$

Таким образом, $n^2$ делится на 3, а значит, и $n$ должно делиться на 3.

Шаг 5: Противоречие.

Теперь мы пришли к выводу, что и $m$, и $n$ делятся на 3, но это противоречит нашему предположению, что $m$ и $n$ взаимно просты, так как их общий делитель 3.

Шаг 6: Заключение.

Это противоречие доказывает, что $\sqrt{3}$ не может быть рациональным числом. Следовательно, $\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Ответ: $\sqrt{3}$ — иррациональное число.

в) Доказательство иррациональности $1-\sqrt{3}$:

Шаг 1: Предположим, что $1-\sqrt{3}$ рационально.

Предположим, что $1-\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$, то есть это число можно представить в виде рациональной дроби:

$$1-\sqrt{3}=r,\text{где }r\in \mathbb{Q}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\sqrt{3}=1-r\mathrm{.}$$

Шаг 2: Доказательство иррациональности $\sqrt{3}$.

Поскольку $r$ — рациональное число, а $1-r$ также рационально, то $\sqrt{3}=1-r$ также должно быть рациональным числом. Однако мы уже доказали, что $\sqrt{3}$ иррационально. Это противоречие.

Шаг 3: Заключение.

Так как это противоречие, наше предположение о рациональности $1-\sqrt{3}$ неверно. Следовательно, $1-\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Ответ: $1-\sqrt{3}$ — иррациональное число.

г) Доказательство иррациональности $\sqrt{3}-\sqrt{15}$:

Шаг 1: Предположим, что $\sqrt{3}-\sqrt{15}$ рационально.

Предположим, что $\sqrt{3}-\sqrt{15}\in \mathbb{Q}$, то есть это число можно представить как рациональную дробь:

$$\sqrt{3}-\sqrt{15}=r,\text{где }r\in \mathbb{Q}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\sqrt{3}=r+\sqrt{15}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Возводим в квадрат обе стороны.

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{3}{)}^2=(r+\sqrt{15}{)}^2\mathrm{.}$$

Получаем:

$$3=r^2+2r\sqrt{15}+15.$$

Преобразуем:

$$3=r^2+15+2r\sqrt{15}\Rightarrow -12=r^2+2r\sqrt{15}\mathrm{.}$$

Переходим к:

$$2r\sqrt{15}=-12-r^2\Rightarrow \sqrt{15}=\frac{-12-r^2}{2r}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Противоречие.

Очевидно, что $\sqrt{15}$ не может быть рациональным числом, так как $\sqrt{15}$ — иррационально. Это противоречит нашему предположению, что $\sqrt{3}-\sqrt{15}$ рационально.

Шаг 4: Заключение.

Таким образом, $\sqrt{3}-\sqrt{15}$ — иррациональное число.

Ответ: $\sqrt{3}-\sqrt{15}$ — иррациональное число.

Итог:

1. $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
2. $\sqrt{3}$ — иррациональное число.
3. $1-\sqrt{3}$ — иррациональное число.
4. $\sqrt{3}-\sqrt{15}$ — иррациональное число.