ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Преобразовать данное выражение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$;

а) $f = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right);$

$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2;$

$\frac{A}{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{B}{C} = \frac{1}{2};$

$f_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos x \right) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right);$

$f_2 = 2 \left( \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x \right) = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{3} \right);$

б) $f = \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right);$

$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + \left( \sqrt{3} \right)^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$

$\frac{A}{C} = \frac{1}{2}$ и $\frac{B}{C} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

$f_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x \right) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right);$

$f_2 = 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x \right) = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right);$

в) $f = \sin x — \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right);$

$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$

$\frac{A}{C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{B}{C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

$f_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right);$

$f_2 = \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x \right) = -\sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right);$

г) $f = 2 \sin x — \sqrt{12} \cos x = 4 \left( \frac{1}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right);$

$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{2^2 + \left( \sqrt{12} \right)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4;$

$\frac{A}{C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\frac{B}{C} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

$f_1 = 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x \right) = 4 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right);$

$f_2 = 4 \left( \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x — \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x \right) = -4 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right);$

Преобразовать данное выражение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$.

а) $f = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

Шаг 1: Преобразуем исходное выражение.

Исходное выражение:

$$f = \sqrt{3} \sin x + \cos x$$

Прежде чем преобразовывать, представим его в виде, удобном для использования формул:

$$f = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$$

Теперь у нас есть коэффициенты $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$, которые можно интерпретировать как косинус и синус угла. Это напоминает стандартное преобразование для приведения выражения к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$.

Шаг 2: Находим величину $C$.

Для приведения выражения к форме $C \sin(x + t)$, нужно найти величину $C$, которая определяется по формуле:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2}$$

где $A = \sqrt{3}$, $B = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$$C = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3: Находим угол $t$.

Чтобы найти угол $t$, используем отношения для коэффициентов синуса и косинуса:

$$\frac{A}{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{B}{C} = \frac{1}{2}$$

Это дает нам значения для $\cos t$ и $\sin t$. Таким образом:

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin t = \frac{1}{2}$$

По этим значениям мы можем определить угол $t$. Знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Значит:

$$t = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Преобразуем выражение в форму $C \sin(x + t)$.

Теперь мы можем записать выражение для $f$ в форме:

$$f = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} \sin x + \sin \frac{\pi}{6} \cos x \right)$$

Используя формулу для синуса суммы углов:

$$f = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 5: Проверим альтернативное представление $f$.

Мы можем записать то же самое выражение, используя косинус:

$$f = 2 \left( \sin \frac{\pi}{3} \sin x + \cos \frac{\pi}{3} \cos x \right)$$

Используя формулу для косинуса суммы углов:

$$f = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$$

б) $f = \sin x + \sqrt{3} \cos x$

Шаг 1: Преобразуем исходное выражение.

Исходное выражение:

$$f = \sin x + \sqrt{3} \cos x$$

Представляем его в удобной для преобразования форме:

$$f = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 2: Находим величину $C$.

Для $C$ используем формулу:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2}$$

где $A = 1$, $B = \sqrt{3}$. Подставляем значения:

$$C = \sqrt{1^2 + \left( \sqrt{3} \right)^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3: Находим угол $t$.

Теперь находим $t$, используя:

$$\frac{A}{C} = \frac{1}{2}, \quad \frac{B}{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значения для $\cos t$ и $\sin t$ дают:

$$\cos t = \frac{1}{2}, \quad \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

По этим значениям можно найти угол $t$, который равен:

$$t = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Преобразуем выражение в форму $C \sin(x + t)$.

Записываем выражение для $f$ как:

$$f = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x \right)$$

Используя формулу для синуса суммы углов:

$$f = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 5: Проверим альтернативное представление $f$.

Альтернативное представление:

$$f = 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} \sin x + \cos \frac{\pi}{6} \cos x \right)$$

Используя формулу для косинуса суммы углов:

$$f = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$$

в) $f = \sin x — \cos x$

Шаг 1: Преобразуем исходное выражение.

Исходное выражение:

$$f = \sin x — \cos x$$

Представляем его в удобной для преобразования форме:

$$f = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 2: Находим величину $C$.

Для $C$ используем формулу:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2}$$

где $A = 1$, $B = 1$. Подставляем значения:

$$C = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Находим угол $t$.

Теперь находим $t$, используя:

$$\frac{A}{C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{B}{C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значения для $\cos t$ и $\sin t$ дают:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

По этим значениям можно найти угол $t$, который равен:

$$t = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Преобразуем выражение в форму $C \sin(x + t)$.

Записываем выражение для $f$ как:

$$f = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right)$$

Используя формулу для синуса разности углов:

$$f = \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 5: Проверим альтернативное представление $f$.

Альтернативное представление:

$$f = \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \sin x — \cos \frac{\pi}{4} \cos x \right)$$

Используя формулу для косинуса суммы углов:

$$f = -\sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

г) $f = 2 \sin x — \sqrt{12} \cos x$

Шаг 1: Преобразуем исходное выражение.

Исходное выражение:

$$f = 2 \sin x — \sqrt{12} \cos x$$

Представляем его в удобной для преобразования форме:

$$f = 4 \left( \frac{1}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 2: Находим величину $C$.

Для $C$ используем формулу:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2}$$

где $A = 2$, $B = \sqrt{12}$. Подставляем значения:

$$C = \sqrt{2^2 + \left( \sqrt{12} \right)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$

Шаг 3: Находим угол $t$.

Теперь находим $t$, используя:

$$\frac{A}{C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{B}{C} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значения для $\cos t$ и $\sin t$ дают:

$$\cos t = \frac{1}{2}, \quad \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

По этим значениям можно найти угол $t$, который равен:

$$t = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Преобразуем выражение в форму $C \sin(x + t)$.

Записываем выражение для $f$ как:

$$f = 4 \left( \cos \frac{\pi}{3} \sin x — \sin \frac{\pi}{3} \cos x \right)$$

Используя формулу для синуса разности углов:

$$f = 4 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 5: Проверим альтернативное представление $f$.

Альтернативное представление:

$$f = 4 \left( \sin \frac{\pi}{6} \sin x — \cos \frac{\pi}{6} \cos x \right)$$

Используя формулу для косинуса суммы углов:

$$f = -4 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$