ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каком значении параметра $a$ наибольшее значение функции $y = f(x)$ равно наименьшему значению функции $y = g(x)$;

а) $f(x) = 7 \sin 5x — 24 \cos 5x + a — 1$, $g(x) = 3 — 2 \cos 4x$;

$f(x) = \sqrt{49 + 576} \sin(5x — t) + a$;

$f(x) = 25 \sin(5x — t) + a$;

Условие выполняется при:

$$25 + a — 1 = 3 — 2;$$ $$24 + a = 1;$$ $$a = -23;$$

Ответ: $-23$.

б) $f(x) = 9 \sin(x — 2) + 12 \cos(x — 2) — 5 — a$, $g(x) = 2 + 7 \sin(2x + 1)$;

$f(x) = \sqrt{81 + 144} \sin(x — 2 + t) — 5 — a$;

$f(x) = 15 \sin(x — 2 + t) — 5 — a$;

Условие выполняется при:

$$15 — 5 — a = 2 — 7;$$ $$10 — a = -5;$$ $$a = 15;$$

Ответ: $15$.

Найти такое значение параметра $a$, при котором наибольшее значение функции $y = f(x)$ равно наименьшему значению функции $y = g(x)$.

а)

Даны функции:

$$f(x) = 7 \sin 5x — 24 \cos 5x + a — 1$$ $$g(x) = 3 — 2 \cos 4x$$

Шаг 1: Преобразуем $f(x)$ к виду синусоиды с амплитудой

Функция $f(x)$ состоит из суммы синуса и косинуса с одинаковым аргументом $5x$. Преобразуем эту часть в одну тригонометрическую функцию:

$$7 \sin 5x — 24 \cos 5x$$

Это выражение можно записать как:

$$R \sin(5x — t)$$

где:

• $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$
• Таким образом:

$$7 \sin 5x — 24 \cos 5x = 25 \sin(5x — t)$$

для некоторого угла $t$. Точное значение $t$ не требуется, так как нас интересуют максимум и минимум функции, а они зависят только от амплитуды.

Итак, функция $f(x)$ переписывается как:

$$f(x) = 25 \sin(5x — t) + a — 1$$

Шаг 2: Найдём наибольшее значение функции $f(x)$

Синус принимает значения от $-1$ до $1$. Значит:

• Максимум $\sin(5x — t) = 1$
• Тогда максимум всей функции:

$$f_{\max} = 25 \cdot 1 + a — 1 = 25 + a — 1 = 24 + a$$

Шаг 3: Найдём наименьшее значение функции $g(x)$

$$g(x) = 3 — 2 \cos 4x$$

Косинус принимает значения от $-1$ до $1$, значит:

• Максимум $\cos 4x = 1$ → $g_{\min} = 3 — 2 \cdot 1 = 1$
• Минимум $\cos 4x = -1$ → $g_{\max} = 3 — 2 \cdot (-1) = 5$

То есть наименьшее значение:

$$g_{\min} = 1$$

Шаг 4: Приравниваем значения по условию задачи

$$\text{Наибольшее значение } f(x) = \text{наименьшее значение } g(x)$$ $$24 + a = 1$$

Шаг 5: Решаем уравнение

$$a = 1 — 24 = -23$$

Ответ (а): $\boxed{-23}$

б)

Функции:

$$f(x) = 9 \sin(x — 2) + 12 \cos(x — 2) — 5 — a$$ $$g(x) = 2 + 7 \sin(2x + 1)$$

Шаг 1: Преобразуем $f(x)$ в синусоиду

Сумма синуса и косинуса с одинаковым аргументом можно свести к одной синусоиде:

$$9 \sin(x — 2) + 12 \cos(x — 2) = R \sin((x — 2) + t)$$

Найдём амплитуду:

$$R = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

Значит:

$$f(x) = 15 \sin(x — 2 + t) — 5 — a$$

Шаг 2: Найдём наибольшее значение $f(x)$

$$f_{\max} = 15 \cdot 1 — 5 — a = 15 — 5 — a = 10 — a$$

Шаг 3: Найдём наименьшее значение $g(x)$

$$g(x) = 2 + 7 \sin(2x + 1)$$

Синус $\in [-1, 1]$, значит:

• Минимум: $\sin = -1$ → $g_{\min} = 2 + 7(-1) = 2 — 7 = -5$

Шаг 4: Приравниваем значения

$$f_{\max} = g_{\min}$$ $$10 — a = -5$$

Шаг 5: Решаем уравнение

$$a = 10 + 5 = 15$$

Ответ (б): $\boxed{15}$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{-23}$

б) $\boxed{15}$