ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Преобразуйте данное выражение к виду $C\sin (x+t)$ или $C\cos (x+t)$:

а) $f = 3 \sin x + 4 \cos x$

б) $5\cos x-12\sin x$

в) $f = 7 \sin x — 24 \cos x$

г) $8\cos x+15\sin x$

Преобразовать данное выражение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$;

а) $f = 3 \sin x + 4 \cos x$;
$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$;
$t_1 = \arcsin \frac{B}{C} = \arcsin \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad f_1 = 5 \sin \left( x + \arcsin \frac{4}{5} \right)$;
$t_2 = \arccos \frac{B}{C} = \arccos \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad f_2 = 5 \cos \left( x — \arccos \frac{4}{5} \right)$;

б) $f = 5 \cos x — 12 \sin x = -(12 \sin x — 5 \cos x)$;
$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$;
$t_1 = \arccos \frac{A}{C} = \arccos \frac{12}{13} \quad \Rightarrow \quad f_1 = -13 \sin \left( x — \arccos \frac{12}{13} \right)$;
$t_2 = \arcsin \frac{A}{C} = \arcsin \frac{12}{13} \quad \Rightarrow \quad f_2 = 13 \cos \left( x + \arcsin \frac{12}{13} \right)$;

в) $f = 7 \sin x — 24 \cos x$;
$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$;
$t_1 = \arccos \frac{A}{C} = \arccos \frac{7}{25} \quad \Rightarrow \quad f_1 = 25 \sin \left( x — \arccos \frac{7}{25} \right)$;
$t_2 = \arcsin \frac{A}{C} = \arcsin \frac{7}{25} \quad \Rightarrow \quad f_2 = -25 \cos \left( x + \arcsin \frac{7}{25} \right)$;

г) $f = 8 \cos x + 15 \sin x = 15 \sin x + 8 \cos x$;
$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$;
$t_1 = \arcsin \frac{B}{C} = \arcsin \frac{8}{17} \quad \Rightarrow \quad f_1 = 17 \sin \left( x + \arcsin \frac{8}{17} \right)$;
$t_2 = \arccos \frac{B}{C} = \arccos \frac{8}{17} \quad \Rightarrow \quad f_2 = 17 \cos \left( x — \arccos \frac{8}{17} \right)$;

Если дано выражение:

$$f(x) = A \sin x + B \cos x$$

его можно представить в виде:

$$f(x) = C \sin(x + t) \quad \text{или} \quad f(x) = C \cos(x + t)$$

где:

• $C = \sqrt{A^2 + B^2}$
• $t$ — сдвиг фазы, определяемый по:
  • $\sin t = \dfrac{B}{C}$
  • $\cos t = \dfrac{A}{C}$

а) $f = 3 \sin x + 4 \cos x$

1. Определим коэффициенты:

• $A = 3$
• $B = 4$

2. Найдём амплитуду:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

3. Найдём фазовый сдвиг:

В форме синуса:

$$\sin t = \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \Rightarrow t = \arcsin\left( \frac{4}{5} \right)$$ $$f(x) = 5 \sin\left( x + \arcsin\left( \frac{4}{5} \right) \right)$$

В форме косинуса:

$$\cos t = \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \Rightarrow t = \arccos\left( \frac{4}{5} \right)$$ $$f(x) = 5 \cos\left( x — \arccos\left( \frac{4}{5} \right) \right)$$

б) $f = 5 \cos x — 12 \sin x$

1. Преобразуем к виду $A \sin x + B \cos x$:

$$f(x) = 5 \cos x — 12 \sin x = -(12 \sin x — 5 \cos x)$$

2. Определим:

• $A = 12$
• $B = -5$

3. Найдём амплитуду:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

4. Найдём фазовый сдвиг:

В форме синуса:

$$\cos t = \frac{A}{C} = \frac{12}{13} \Rightarrow t = \arccos\left( \frac{12}{13} \right)$$ $$f(x) = -13 \sin\left( x — \arccos\left( \frac{12}{13} \right) \right)$$

В форме косинуса:

$$\sin t = \frac{A}{C} = \frac{12}{13} \Rightarrow t = \arcsin\left( \frac{12}{13} \right)$$ $$f(x) = 13 \cos\left( x + \arcsin\left( \frac{12}{13} \right) \right)$$

в) $f = 7 \sin x — 24 \cos x$

1. Коэффициенты:

• $A = 7$
• $B = -24$

2. Амплитуда:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

3. Фазовый сдвиг:

В форме синуса:

$$\cos t = \frac{A}{C} = \frac{7}{25} \Rightarrow t = \arccos\left( \frac{7}{25} \right)$$ $$f(x) = 25 \sin\left( x — \arccos\left( \frac{7}{25} \right) \right)$$

В форме косинуса:

$$\sin t = \frac{A}{C} = \frac{7}{25} \Rightarrow t = \arcsin\left( \frac{7}{25} \right)$$

Поскольку перед косинусом — отрицательный коэффициент:

$$f(x) = -25 \cos\left( x + \arcsin\left( \frac{7}{25} \right) \right)$$

г) $f = 8 \cos x + 15 \sin x = 15 \sin x + 8 \cos x$

1. Коэффициенты:

• $A = 15$
• $B = 8$

2. Амплитуда:

$$C = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

3. Фазовый сдвиг:

В форме синуса:

$$\sin t = \frac{B}{C} = \frac{8}{17} \Rightarrow t = \arcsin\left( \frac{8}{17} \right)$$ $$f(x) = 17 \sin\left( x + \arcsin\left( \frac{8}{17} \right) \right)$$

В форме косинуса:

$$\cos t = \frac{B}{C} = \frac{8}{17} \Rightarrow t = \arccos\left( \frac{8}{17} \right)$$ $$f(x) = 17 \cos\left( x — \arccos\left( \frac{8}{17} \right) \right)$$