ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ уравнение не имеет решений:

а)

$$5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 2a — 1;$$ $$\sqrt{25 + 144} \sin(2x + t) = 2a — 1;$$ $$13 \sin(2x + t) = 2a — 1;$$ $$\sin(2x + t) = \frac{2a — 1}{13};$$

Уравнение имеет решения при:

$$-1 \leq \frac{2a — 1}{13} \leq 1;$$ $$-13 \leq 2a — 1 \leq 13;$$ $$-12 \leq 2a \leq 14;$$ $$-6 \leq a \leq 7;$$

Ответ: $a < -6; \, a > 7$.

б)

$$3 \cos \frac{x}{2} — 4 \sin \frac{x}{2} + 1 = a^2;$$ $$4 \sin \frac{x}{2} — 3 \cos \frac{x}{2} = 1 — a^2;$$ $$\sqrt{16 + 9} \sin\left(\frac{x}{2} — t\right) = 1 — a^2;$$ $$5 \sin\left(\frac{x}{2} — t\right) = 1 — a^2;$$ $$\sin\left(\frac{x}{2} — t\right) = \frac{1 — a^2}{5};$$

Уравнение имеет решения при:

$$-1 \leq \frac{1 — a^2}{5} \leq 1;$$ $$-5 \leq 1 — a^2 \leq 5;$$ $$-6 \leq -a^2 \leq 4;$$ $$0 \leq a^2 \leq 6;$$ $$-\sqrt{6} \leq a \leq \sqrt{6};$$

Ответ: $a < -\sqrt{6}; \, a > \sqrt{6}$.

Найти такие значения параметра $a$, при которых уравнение не имеет решений.

а)

$$5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 2a — 1$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Используем формулу:

$$A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + t),$$

где

$$R = \sqrt{A^2 + B^2}, \quad \tg t = \frac{B}{A}.$$

Подставим $A = 5$, $B = 12$:

$$R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13,$$ $$\tg t = \frac{12}{5}, \quad \Rightarrow t = \arctg\left(\frac{12}{5}\right).$$

Следовательно:

$$5 \sin 2x + 12 \cos 2x = 13 \sin(2x + t).$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$13 \sin(2x + t) = 2a — 1.$$

Шаг 3: Ограничим значение синуса

Уравнение имеет решения при:

$$-1 \leq \frac{2a — 1}{13} \leq 1.$$

Шаг 4: Решим двойное неравенство

Умножим на 13:

$$-13 \leq 2a — 1 \leq 13.$$

Прибавим 1:

$$-12 \leq 2a \leq 14.$$

Разделим на 2:

$$-6 \leq a \leq 7.$$

Вывод а):

Уравнение не имеет решений, если:

$$\boxed{a < -6 \quad \text{или} \quad a > 7}.$$

б)

$$3 \cos \frac{x}{2} — 4 \sin \frac{x}{2} + 1 = a^2$$

Шаг 1: Приводим к форме суммы синуса и косинуса

Переносим 1:

$$3 \cos \frac{x}{2} — 4 \sin \frac{x}{2} = a^2 — 1.$$

Удобнее переписать как:

$$4 \sin \frac{x}{2} — 3 \cos \frac{x}{2} = 1 — a^2.$$

Шаг 2: Сумма в виде одного синуса

Используем:

$$A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + t),$$

где $A = 4$, $B = -3$:

$$R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5,$$ $$\tg t = \frac{-3}{4} \Rightarrow t = \arctg\left(-\frac{3}{4}\right).$$

Тогда:

$$5 \sin\left(\frac{x}{2} — t\right) = 1 — a^2.$$

Шаг 3: Решим относительно синуса

$$\sin\left(\frac{x}{2} — t\right) = \frac{1 — a^2}{5}.$$

Шаг 4: Наложим условие существования

$$-1 \leq \frac{1 — a^2}{5} \leq 1.$$

Умножим на 5:

$$-5 \leq 1 — a^2 \leq 5.$$

Вычтем 1:

$$-6 \leq -a^2 \leq 4.$$

Домножим на $-1$:

$$-4 \leq a^2 \leq 6.$$

С учётом $a^2 \geq 0$:

$$0 \leq a^2 \leq 6.$$

Извлекаем корень:

$$-\sqrt{6} \leq a \leq \sqrt{6}.$$

Вывод б):

Уравнение не имеет решений, если:

$$\boxed{a < -\sqrt{6} \quad \text{или} \quad a > \sqrt{6}}.$$