ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство:

a) 2sin²х + sin2х < 2,5;

б) 16sin²3х + 15sin6x $\le$ 25.

Доказать, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $2 \sin^2 x + \sin 2x < 2{,}5$;

$2 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} + \sin 2x < 2{,}5$;

$1 — \cos 2x + \sin 2x < 2{,}5$;

$\sin 2x — \cos 2x < 1{,}5$;

$\sqrt{1+1} \sin(2x — t) < \sqrt{1{,}5^2}$;

$\sqrt{2} \sin(2x — t) < \sqrt{2{,}25}$;

$\sqrt{2} \sin(2x — t) \leq \sqrt{2} < \sqrt{2{,}25}$

Что и требовалось доказать.

б) $16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \leq 25$;

$16 \cdot \frac{1 — \cos 6x}{2} + 15 \sin 6x \leq 25$;

$8 — 8 \cos 6x + 15 \sin 6x \leq 25$;

$15 \sin 6x — 8 \cos 6x \leq 17$;

$\sqrt{225 + 64} \sin(6x — t) \leq 17$;

$\sqrt{289} \sin(6x + t) \leq 17$;

$17 \sin(6x — t) \leq 17$;

$\sin(6x — t) \leq 1$;

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство:

$$2 \sin^2 x + \sin 2x < 2{,}5$$

Шаг 1: Раскроем формулу двойного угла в первом слагаемом

$$2 \sin^2 x = 2 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Используется формула:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$ $$\Rightarrow 2 \sin^2 x = 1 — \cos 2x$$

Шаг 2: Подставим это в исходное неравенство

$$1 — \cos 2x + \sin 2x < 2{,}5$$

Шаг 3: Приведём подобные слагаемые

$$\sin 2x — \cos 2x < 1{,}5$$

Шаг 4: Выразим левую часть как амплитуду синусоиды

Имеем выражение вида:

$$\sin 2x — \cos 2x$$

Это представим в виде одной синусоиды:

$$\sin 2x — \cos 2x = R \sin(2x — t)$$

Где:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, если $a \sin \theta + b \cos \theta = R \sin(\theta + \phi)$
• Здесь $a = 1$, $b = -1$

$$R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$

Шаг 5: Подстановка амплитуды в неравенство

$$\sqrt{2} \sin(2x — t) < 1{,}5$$

Шаг 6: Делим обе части на $\sqrt{2}$

$$\sin(2x — t) < \frac{1{,}5}{\sqrt{2}} \approx 1{,}06$$

Но самое важное: $\sin(\theta) \leq 1$, а значит:

$$\sqrt{2} \sin(2x — t) \leq \sqrt{2} < \sqrt{2{,}25}$$

Потому что:

$$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 < \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$$

Итог:

$$2 \sin^2 x + \sin 2x < 2{,}5 \quad \text{при любых } x$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что:

$$16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \leq 25$$

Шаг 1: Преобразуем $\sin^2 3x$ через двойной угол

$$\sin^2 3x = \frac{1 — \cos 6x}{2} \Rightarrow 16 \sin^2 3x = 16 \cdot \frac{1 — \cos 6x}{2} = 8 — 8 \cos 6x$$

Шаг 2: Подставим это в исходное неравенство

$$8 — 8 \cos 6x + 15 \sin 6x \leq 25$$

Шаг 3: Переносим 8 в правую часть

$$-8 \cos 6x + 15 \sin 6x \leq 17$$

Или так:

$$15 \sin 6x — 8 \cos 6x \leq 17$$

Шаг 4: Представим как одну синусоиду

$$15 \sin 6x — 8 \cos 6x = R \sin(6x — t)$$

Где:

$$R = \sqrt{15^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Шаг 5: Подставим в неравенство

$$17 \sin(6x — t) \leq 17 \Rightarrow \sin(6x — t) \leq 1$$

А это всегда верно.

Итог:

$$16 \sin^2 3x + 15 \sin 6x \leq 25 \quad \text{при любых } x$$

Что и требовалось доказать.