ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ решением неравенства является любое действительное число $x$:

а) $12 \sin 2x — 35 \cos 2x < 148a^2$;

б) $35 \sin 3x + 12 \cos 3x \geq 18{,}5(a^3 — 10)$

При каких значениях параметра $a$ решением неравенства является любое действительное число $x$:

а) $12 \sin 2x — 35 \cos 2x < 148a^2$;$\mathrm{}$

$\sqrt{144 + 1225} \sin(2x — t) < 148a^2$;

$\sqrt{1369} \sin(2x — t) < 148a^2$;

$37 \sin(2x — t) < 148a^2$;

$\sin(2x — t) < 4a^2$;

Неравенство верно при любом $x$, если:

$4a^2 > 1$;

$4a^2 — 1 > 0$;

$(2a + 1)(2a — 1) > 0$;

$a < -\frac{1}{2}$ и $a > \frac{1}{2}$;

Ответ: $a \in \left( -\infty; -\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)$.

б) $35 \sin 3x + 12 \cos 3x \geq 18{,}5(a^3 — 10)$;$\mathrm{}$

$\sqrt{1225 + 144} \sin(3x + t) \geq 18{,}5(a^3 — 10)$;

$\sqrt{1369} \sin(3x + t) \geq 18{,}5(a^3 — 10)$;

$37 \sin(3x + t) \geq 18{,}5(a^3 — 10)$;

$\sin(3x + t) \geq \frac{1}{2}(a^3 — 10)$;

Неравенство верно при любом $x$, если:

$\frac{1}{2}(a^3 — 10) \leq -1$;

$a^3 — 10 \leq -2$;

$a^3 \leq 8$;

$a \leq 2$;

Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.

а)

Дано неравенство:

$$12 \sin 2x — 35 \cos 2x < 148a^2$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть в одну тригонометрическую функцию

Выражение вида $A \sin \theta + B \cos \theta$ можно привести к виду:

$$R \sin(\theta + t)$$

где

$$R = \sqrt{A^2 + B^2},\quad \tan t = \frac{B}{A}$$

Для нас:

$$A = 12,\quad B = -35 \Rightarrow R = \sqrt{12^2 + (-35)^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$$

Следовательно:

$$12 \sin 2x — 35 \cos 2x = 37 \sin(2x — t) \quad \text{(где } t \text{ — некоторая константа)}$$

Шаг 2: Неравенство переписывается как

$$37 \sin(2x — t) < 148a^2 \Rightarrow \sin(2x — t) < \frac{148a^2}{37}$$

Шаг 3: Условие — неравенство должно быть верно при любом $x$

Функция $\sin(2x — t)$ изменяется на отрезке $[-1; 1]$.
То есть её наибольшее значение — 1, наименьшее — -1.

Чтобы неравенство было верно при любом $x$, его наивысшее значение тоже должно удовлетворять неравенству.
Значит:

$$\sin(2x — t) \leq 1 \Rightarrow \frac{148a^2}{37} > 1$$

Шаг 4: Решаем неравенство

$$\frac{148a^2}{37} > 1 \Rightarrow 148a^2 > 37 \Rightarrow a^2 > \frac{37}{148} = \frac{1}{4} \Rightarrow |a| > \frac{1}{2} \Rightarrow a < -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad a > \frac{1}{2}$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{a \in \left( -\infty; -\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)}$$

б)

Исходное неравенство:

$$35 \sin 3x + 12 \cos 3x \geq 18{,}5(a^3 — 10)$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Аналогично пункту (а), приводим к форме:

$$R \sin(3x + t)$$

где $R = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37$

Итак:

$$35 \sin 3x + 12 \cos 3x = 37 \sin(3x + t)$$

Шаг 2: Перепишем неравенство

$$37 \sin(3x + t) \geq 18{,}5(a^3 — 10) \Rightarrow \sin(3x + t) \geq \frac{18{,}5(a^3 — 10)}{37} \Rightarrow \sin(3x + t) \geq \frac{1}{2}(a^3 — 10)$$

Шаг 3: Неравенство должно быть верно при любом $x$

$\sin(3x + t)$ колеблется в диапазоне $[-1; 1]$.
Чтобы неравенство выполнялось при любом $x$, правая часть должна быть меньше или равна наименьшего возможного значения $\sin$, то есть:

$$\frac{1}{2}(a^3 — 10) \leq -1$$

Шаг 4: Решим это неравенство

$$\frac{1}{2}(a^3-10)\le -1\Rightarrow a^3-10\le -2\Rightarrow a^3\le 8\Rightarrow a\le 2$$

$$\frac{1}{2}(a^3 — 10) \leq -1 \Rightarrow a^3 — 10 \leq -2 \Rightarrow a^3 \leq 8 \Rightarrow a \leq 2 \quad \text{(так как функция } a^3 \text{ монотонно возрастает)}$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{a \in (-\infty; 2]}$$

Итог:

а) $\boxed{a \in \left( -\infty; -\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)}$
б) $\boxed{a \in (-\infty; 2]}$