ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

$$\cos x-\sin x\cdot \cos 4x=\sqrt{2}$$

Решить уравнение:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sqrt{2};$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin 4x \geq -1;$$ $$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x \leq \sin x + \cos x;$$

Преобразуем правую часть неравенства:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{1+1} \sin \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right);$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq 1;$$ $$\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \sqrt{2};$$ $$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x \leq \sqrt{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = -1;$$ $$4x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + 2\pi n}.$$

Решим уравнение:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sqrt{2}$$

Шаг 1. Анализ левой и правой части уравнения

Дано:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sqrt{2}$$

Замечание:

Поскольку правая часть — константа $\sqrt{2} \approx 1.4142$, а левая часть — тригонометрическое выражение, ограниченное по модулю (ограничены и $\cos x$, и $\sin x$, и $\cos 4x$), то:

• Максимально возможное значение $\cos x — \sin x \cdot \cos 4x$ — это какая-то ограниченная величина.

Попробуем установить возможные пределы этой функции, чтобы понять, допустимо ли вообще равенство с $\sqrt{2}$.

Шаг 2. Оценка максимума левой части

Рассмотрим:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x \leq \sin x + \cos x$$

Это утверждение неравенства требует пояснения. Его удобно доказать или объяснить так:

Поскольку:

$$\cos 4x\ge -1\Rightarrow -\cos 4x\le 1\Rightarrow -\sin x\cdot \cos 4x\le \sin x\Rightarrow$$

$$\cos 4x \geq -1 \Rightarrow -\cos 4x \leq 1 \Rightarrow -\sin x \cdot \cos 4x \leq \sin x \Rightarrow -\sin x \cdot \cos 4x + \cos x \leq \sin x + \cos x$$

Следовательно:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x \leq \cos x + \sin x$$

Шаг 3. Преобразуем $\sin x + \cos x$

Преобразуем сумму синуса и косинуса к произведению:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Подробное объяснение:

Воспользуемся формулой:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin\left(x + \varphi\right)$$

где:

• $\varphi = \arcsin\left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$, если $a, b > 0$

В нашем случае $a = 1, b = 1$:

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$\varphi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$$

Значит:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 4. Вывод о максимальном значении

Так как:

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})\le 1\Rightarrow \sqrt{2}\cdot \sin (x+\frac{\pi }{4})\le \sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2} \Rightarrow \cos x — \sin x \cdot \cos 4x \leq \sqrt{2}$$

Следовательно, максимальное значение выражения слева не превосходит $\sqrt{2}$. Это означает, что уравнение может иметь решение, если левое выражение тоже достигает $\sqrt{2}$.

Теперь найдем, при каких значениях $x$ достигается это максимум:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sqrt{2}$$

Шаг 5. Предположим, что максимум достигается

Мы видим, что:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sqrt{2} \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Равенство возможно только тогда, когда:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sin x + \cos x \Rightarrow -\sin x \cdot \cos 4x = \sin x \Rightarrow \sin x \cdot (-\cos 4x — 1) = 0$$

Теперь разберем это уравнение:

Шаг 6. Решаем уравнение $\sin x \cdot (-\cos 4x — 1) = 0$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

Случай 1:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Проверим, подходит ли:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \cos x \Rightarrow \cos(\pi n) = (-1)^n$$

Но:

$$\cos(\pi n) = \pm 1 \Rightarrow \text{тогда } \cos x = \pm 1 \Rightarrow \text{а значит } \cos x \leq 1 \Rightarrow \cos x \ne \sqrt{2}$$

Следовательно, $\sin x = 0 \Rightarrow \cos x \ne \sqrt{2}$, значит этот случай не подходит.

Случай 2:

$$-\cos 4x — 1 = 0 \Rightarrow \cos 4x = -1$$

Решим:

$$\cos 4x = -1 \Rightarrow 4x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 7. Проверим, при каких $x$ достигается максимум

Чтобы левое выражение достигло $\sqrt{2}$, нужно:

$$\cos x — \sin x \cdot \cos 4x = \sqrt{2}$$

Мы уже установили, что:

$$\cos 4x = -1 \Rightarrow \text{Подставим в выражение:}$$ $$\cos x — \sin x \cdot (-1) = \cos x + \sin x = \sqrt{2} \Rightarrow \cos x + \sin x = \sqrt{2}$$

Но мы уже знаем:

$$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4} \right) \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Шаг 8. Решаем $\sin\left(x + \frac{\pi}{4} \right) = 1$

$$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 9. Сравнение с предыдущим результатом

Ранее:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \quad\text{(из условия \( \cos 4x = -1 \))}$$

Теперь:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad\text{(из условия \( \sin(x + \pi/4) = 1 \))}$$

Общее решение:

Нужно, чтобы одновременно выполнялись оба условия, т.е. $x$ принадлежал пересечению множеств.

Так как $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \subseteq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, это и будет конкретное подмножество общего решения.

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$