ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{3+1} \sin \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{3+1}} \right)$

$y = 2 \sin \left( x + \arcsin \frac{1}{2} \right) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \leq 1$
$-2 \leq 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \leq 2$

Ответ: $-2; 2$.

б) $y = \sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{1+3} \sin \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right)$

$y = 2 \sin \left( x — \arccos \frac{1}{2} \right) = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) \leq 1$
$-2 \leq 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right) \leq 2$

Ответ: $-2; 2$.

в) $y = \sin x — \cos x = \sqrt{1+1} \sin \left( x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right)$

$y = \sqrt{2} \sin \left( x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \leq 1$
$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \leq \sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $y = \sqrt{6} \sin x — \sqrt{2} \cos x = \sqrt{6+2} \sin \left( x — \arcsin \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6+2}} \right)$

$y = 2 \sqrt{2} \sin \left( x — \arcsin \frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) \leq 1$
$-2 \sqrt{2} \leq 2 \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) \leq 2 \sqrt{2}$

Ответ: $-2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2}$.

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

Шаг 1: Преобразование в одну синусоиду

Формула:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin \left( x + \varphi \right),$$

где $\varphi = \arcsin \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$ или $\arccos \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$.

У нас:

• $a = \sqrt{3}$
• $b = 1$

Вычислим:

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Теперь найдём угол смещения:

$$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Приведение

$$y = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 3: Множество значений функции

Так как $-1 \leq \sin(\cdot) \leq 1$, то:

$$-2 \leq y \leq 2$$

Ответ:

$$\boxed{-2; 2}$$

б) $y = \sin x — \sqrt{3} \cos x$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = 1$
• $b = -\sqrt{3}$

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Знак у $b$ отрицательный, значит будет минус в аргументе:

$$y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 2: Множество значений

$$-2 \leq y \leq 2$$

Ответ:

$$\boxed{-2; 2}$$

в) $y = \sin x — \cos x$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = 1$
• $b = -1$

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ $$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = -\arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{\pi}{4}$$

Можно записать:

$$y = \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 2: Множество значений

$$-\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\sqrt{2}; \sqrt{2}}$$

г) $y = \sqrt{6} \sin x — \sqrt{2} \cos x$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = \sqrt{6}$
• $b = -\sqrt{2}$

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ $$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = -\arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}$$ $$y = 2 \sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 2: Множество значений

$$-2\sqrt{2} \leq y \leq 2\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}}$$