ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Существуют ли значения $x$, при которых выполняется равенство:

а) $\sin 5x + \cos 5x = 1{,}5$;

б) $3 \sin 2x — 4 \cos 2x = \sqrt{26}$;

в) $\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$;

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$

Существуют ли значения $x$, при которых выполняется равенство:

а) $\sin 5x + \cos 5x = 1{,}5$;

$$\sqrt{1+1} \sin(5x+t) = 1{,}5;$$ $$\sqrt{2} \sin(5x+t) = 1{,}5;$$

Значения функции:

$$200 < 225 \quad => \quad \sqrt{200} < 15 \quad => \quad \sqrt{2} < 1{,}5;$$ $$\sqrt{2} \sin(5x+t) \leq \sqrt{2} < 1{,}5;$$

Ответ: нет.

б) $3 \sin 2x — 4 \cos 2x = \sqrt{26}$;

$$\sqrt{9+16} \sin(2x-t) = \sqrt{26};$$ $$5 \sin(2x-t) = \sqrt{26};$$

Значения функции:

$$25 < 26 \quad => \quad 5 < \sqrt{26};$$ $$5 \sin(2x-t) \leq 5 < \sqrt{26};$$

Ответ: нет.

в) $\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$;

$$\sqrt{1+3} \sin(7x-t) = \frac{\pi}{2};$$ $$2 \sin(7x-t) = \frac{\pi}{2};$$

Значения функции:

$$4 > \pi \quad => \quad 2 > \frac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq 2 \sin(7x-t) \leq 2;$$

Ответ: да.

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$;

$$\sqrt{25+144} \sin(x+t) = \sqrt{170};$$ $$13 \sin(x+t) = \sqrt{170};$$

Значения функции:

$$169 < 170 \quad => \quad 13 < \sqrt{170};$$ $$13 \sin(x+t) \leq 13 < \sqrt{170};$$

Ответ: нет.

а) $\sin 5x + \cos 5x = 1{,}5$

Шаг 1: Преобразуем сумму синуса и косинуса

Сумму $\sin A + \cos A$ можно представить в виде:

$$\sin A + \cos A = \sqrt{2} \sin(A + \frac{\pi}{4})$$

Это следует из общей формулы:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi), \quad \text{где } \tan \varphi = \frac{b}{a}$$

У нас:

• $a = 1$
• $b = 1$

Поэтому:

$$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \tan \varphi = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{4}$$

Значит:

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \sin\left(5x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\sqrt{2} \sin\left(5x + \frac{\pi}{4}\right) = 1{,}5$$

Шаг 3: Найдем допустимые значения левой части

Значения синуса всегда в пределах от –1 до 1:

$$-1 \leq \sin(\ldots) \leq 1 \Rightarrow -\sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin(\ldots) \leq \sqrt{2}$$

А значит:

$$\sqrt{2} \sin(\ldots) \leq \sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5$$

Вывод:

Левая часть не может равняться 1.5, так как максимальное значение $\sqrt{2} \sin(\ldots)$ — это $\sqrt{2}$, а оно меньше 1.5.

Ответ: нет.

б) $3 \sin 2x — 4 \cos 2x = \sqrt{26}$

Шаг 1: Представим в виде одного синуса

Используем формулу:

$$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi), \quad R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

У нас:

• $a = 3$
• $b = -4$

$$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Значит:

$$3 \sin 2x — 4 \cos 2x = 5 \sin(2x + \varphi)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$5 \sin(2x + \varphi) = \sqrt{26}$$

Шаг 3: Найдем границы значений левой части

Синус $\in [-1; 1] \Rightarrow 5 \sin(\ldots) \in [-5; 5]$

Но:

$$\sqrt{26} \approx 5{,}1 > 5$$

Следовательно:

$$5 \sin(\ldots) \leq 5 < \sqrt{26}$$

Вывод:

Левая часть не может быть равна $\sqrt{26}$, так как она меньше.

Ответ: нет.

в) $\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Представим в виде одного синуса

$$a = 1, \quad b = -\sqrt{3}$$ $$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$ $$\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = 2 \sin(7x + \varphi)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$2 \sin(7x + \varphi) = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Проверим границы

$$\sin(\ldots) \in [-1; 1] \Rightarrow 2 \sin(\ldots) \in [-2; 2]$$

А:

$$\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 2$$

То есть $\frac{\pi}{2}$ — допустимое значение.

Вывод:

Уравнение имеет решение, так как правая часть попадает в допустимый диапазон значений левой.

Ответ: да.

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$

Шаг 1: Представим в виде одного синуса

$$a = 5, \quad b = 12$$ $$R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ $$5 \sin x + 12 \cos x = 13 \sin(x + \varphi)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$13 \sin(x + \varphi) = \sqrt{170}$$

Шаг 3: Проверим границы значений

$$\sin(\ldots) \in [-1; 1] \Rightarrow 13 \sin(\ldots) \in [-13; 13]$$

А:

$$\sqrt{170} \approx 13{,}04 > 13$$

Следовательно:

$$13 \sin(\ldots) \leq 13 < \sqrt{170}$$

Вывод:

Левая часть не может достигнуть $\sqrt{170}$, так как максимум — 13, а $\sqrt{170} > 13$.

Ответ: нет.