ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) sin(х — 1) = cos(х + 2);

б) sin(3x + 3) = cos(х — 1).

а)

$$\sin (x-1)=\cos (x+2);$$$$\sin (x-1)-\cos (x+2)=0;$$$$\sin (x-1)-\sin (\frac{\pi }{2}+(x+2))=0;$$$$2\sin \frac{(x-1)-(\frac{\pi }{2}+x+2)}{2}\cdot \cos \frac{(x-1)+(\frac{\pi }{2}+x+2)}{2}=0;$$$$2\sin (-\frac{\pi }{4}-\frac{3}{2})\cdot \cos (x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2})=0;$$$$\cos (x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2})=0;$$$$x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\pi n=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\pi n}}\mathrm{.}$$

б)

$$\sin (3x+3)=\cos (x-1);$$$$\sin (3x+3)-\cos (x-1)=0;$$$$\sin (3x+3)-\sin (\frac{\pi }{2}+(x-1))=0;$$$$2\sin \frac{(3x+3)-(\frac{\pi }{2}+x-1)}{2}\cdot \cos \frac{(3x+3)+(\frac{\pi }{2}+x-1)}{2}=0;$$$$2\sin (x-\frac{\pi }{4}+2)\cdot \cos (2x+\frac{\pi }{4}+1)=0;$$

Первое уравнение:

$$\sin (x-\frac{\pi }{4}+2)=0;$$$$x-\frac{\pi }{4}+2=\pi n;$$$$x=\frac{\pi }{4}-2+\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos (2x+\frac{\pi }{4}+1)=0;$$$$2x+\frac{\pi }{4}+1=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$x=\frac{1}{2}\cdot (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}-1+\pi n)=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{4}-2+\pi n,\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2}}}\mathrm{.}$$

а) Уравнение:

$$\sin (x-1)=\cos (x+2)$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение к разности:

$$\sin (x-1)-\cos (x+2)=0$$

Шаг 2. Используем формулу приведения:

$$\cos (x+2)=\sin (\frac{\pi }{2}-(x+2))$$

Но чтобы сравнивать два синуса, проще привести cos к виду sin, используя:

$$\cos (\theta )=\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )\Rightarrow \cos (x+2)=\sin (\frac{\pi }{2}-(x+2))=\sin (-x-\frac{3\pi }{2})$$

Или другой путь, более удобный:

$$\cos (x+2)=\sin (\frac{\pi }{2}+x+2)\Rightarrow \text{(из-за связи: }\cos a=\sin (\frac{\pi }{2}+a))$$

Тогда уравнение:

$$\sin (x-1)-\sin (\frac{\pi }{2}+x+2)=0$$

Шаг 3. Используем формулу разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\cdot \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)$$

Где:

• $A=x-1$
• $B=\frac{\pi }{2}+x+2$

Вычисляем:

$$\frac{A-B}{2}=\frac{(x-1)-(\frac{\pi }{2}+x+2)}{2}=\frac{-\frac{\pi }{2}-3}{2}=-\frac{\pi }{4}-\frac{3}{2}$$$$\frac{A+B}{2}=\frac{(x-1)+(\frac{\pi }{2}+x+2)}{2}=\frac{2x+\frac{\pi }{2}+1}{2}=x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}$$

Подставляем в формулу:

$$2\sin (-\frac{\pi }{4}-\frac{3}{2})\cdot \cos (x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2})=0$$

Шаг 4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$\sin (-\frac{\pi }{4}-\frac{3}{2})$ — это просто число, не равное нулю
(не кратно $\pi$, значит синус ≠ 0). Игнорируем.

Тогда:

$$\cos (x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2})=0$$

Шаг 5. Решим уравнение:

$$\cos (\alpha )=0\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Значит:

$$x+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n$$$$x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\pi n=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\pi n$$

Ответ к а):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\pi n}},n\in \mathbb{Z}$$

б) Уравнение:

$$\sin (3x+3)=\cos (x-1)$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение:

$$\sin (3x+3)-\cos (x-1)=0$$

Шаг 2. Приводим $\cos (x-1)$ к синусу:

$$\cos (x-1)=\sin (\frac{\pi }{2}+x-1)$$

Тогда:

$$\sin (3x+3)-\sin (\frac{\pi }{2}+x-1)=0$$

Шаг 3. Используем формулу разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)$$

Где:

• $A=3x+3$
• $B=\frac{\pi }{2}+x-1$

Находим каждую часть:

$$\frac{A-B}{2}=\frac{(3x+3)-(\frac{\pi }{2}+x-1)}{2}=\frac{2x+4-\frac{\pi }{2}}{2}=x-\frac{\pi }{4}+2$$$$\frac{A+B}{2}=\frac{(3x+3)+(\frac{\pi }{2}+x-1)}{2}=\frac{4x+2+\frac{\pi }{2}}{2}=2x+1+\frac{\pi }{4}=2x+\frac{\pi }{4}+1$$

Подставим в формулу:

$$2\sin (x-\frac{\pi }{4}+2)\cdot \cos (2x+\frac{\pi }{4}+1)=0$$

Шаг 4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

1) Первый множитель:

$$\sin (x-\frac{\pi }{4}+2)=0\Rightarrow x-\frac{\pi }{4}+2=\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}-2+\pi n$$

2) Второй множитель:

$$\cos (2x+\frac{\pi }{4}+1)=0\Rightarrow 2x+\frac{\pi }{4}+1=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}-1+\pi n=$$

$$=\frac{\pi }{4}-1+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ к б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}-2+\pi n\text{и}x=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{2}}},n\in \mathbb{Z}$$