ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) 5sin3x + 2sinx = 0;

б) 7cos3x — 3cosx = 0.

а) $5\sin 3x+2\sin x=0$;

$5(3\sin x-4{\sin }^{3}x)+2\sin x=0$;

Пусть $y=\sin x$, тогда:

$5(3y-4y^3)+2y=0$;

$15y-20y^3+2y=0$;

$17y-20y^3=0$;

$y(17-20y^2)=0$;

Первое уравнение:

$\sin x=0$;

$x=\pi n$;

Второе уравнение:

$17-20{\sin }^{2}x=0$;

$17-20\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=0$;

$17-10+10\cos 2x=0$;

$10\cos 2x=-7$;

$\cos 2x=-0,7$;

$2x=\pm \arccos (-0,7)+2\pi n$;

$x=\pm \frac{1}{2}\arccos (-0,7)+\pi n$;

Ответ: $\pi n;\pm \frac{1}{2}\arccos (-0,7)+\pi n$.

б) $7\cos 3x-3\cos x=0$;

$7(4{\cos }^{3}x-3\cos x)-3\cos x=0$;

Пусть $y=\cos x$, тогда:

$7(4y^3-3y)-3y=0$;

$28y^3-21y-3y=0$;

$28y^3-24y=0$;

$7y^3-6y=0$;

$y(7y^2-6)=0$;

Первое уравнение:

$\cos x=0$;

$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$;

Второе уравнение:

$7{\cos }^{2}x-6=0$;

$7\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}-6=0$;

$7+7\cos 2x-12=0$;

$7\cos 2x=5$;

$\cos 2x=\frac{5}{7}$;

$2x=\pm \arccos \frac{5}{7}+2\pi n$;

$x=\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{5}{7}+\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi }{2}+\pi n;\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{5}{7}+\pi n$.

а) $5\sin 3x+2\sin x=0$

Шаг 1: Раскроем синус тройного угла

Формула:

$$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$

Подставим в уравнение:

$$5\sin 3x+2\sin x=0\Rightarrow 5(3\sin x-4{\sin }^{3}x)+2\sin x=0$$

Раскроем скобки:

$$15\sin x-20{\sin }^{3}x+2\sin x=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(15\sin x+2\sin x)-20{\sin }^{3}x=0\Rightarrow 17\sin x-20{\sin }^{3}x=0$$

Шаг 2: Введем замену переменной

Обозначим $y=\sin x$. Тогда:

$$17y-20y^3=0$$

Вынесем общий множитель $y$:

$$y(17-20y^2)=0$$

Шаг 3: Найдем корни уравнения

Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Первый множитель:

$$y=0\Rightarrow \sin x=0$$

Уравнение $\sin x=0$ имеет общее решение:

$$x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Второй множитель:

$$17-20y^2=0\Rightarrow 20y^2=17\Rightarrow y^2=\frac{17}{20}$$

Тогда:

$$y=\pm \sqrt{\frac{17}{20}}=\pm \sqrt{\frac{17}{20}}\Rightarrow \sin x=\pm \sqrt{\frac{17}{20}}$$

Шаг 4: Выразим через косинус двойного угла

Вспомним, что:

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Используем это для второго уравнения:

$${\sin }^{2}x=\frac{17}{20}=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{17}{20}\Rightarrow 1-\cos 2x=\frac{17}{10}$$

Отсюда:

$$-\cos 2x=\frac{17}{10}-1=\frac{7}{10}\Rightarrow \cos 2x=-\frac{7}{10}=-\mathrm{0,7}$$

Шаг 5: Найдем x

Из уравнения:

$$\cos 2x=-\mathrm{0,7}\Rightarrow 2x=\pm \arccos (-\mathrm{0,7})+2\pi n$$

Разделим обе части на 2:

$$x=\pm \frac{1}{2}\arccos (-\mathrm{0,7})+\pi n$$

Итоговый ответ для а):

$$x=\pi n;x=\pm \frac{1}{2}\arccos (-\mathrm{0,7})+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

б) $7\cos 3x-3\cos x=0$

Шаг 1: Раскроем косинус тройного угла

Формула:

$$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$$

Подставим в уравнение:

$$7(4{\cos }^{3}x-3\cos x)-3\cos x=0$$

Раскроем скобки:

$$28{\cos }^{3}x-21\cos x-3\cos x=0$$

Сгруппируем:

$$28{\cos }^{3}x-24\cos x=0$$

Шаг 2: Введем замену переменной

Пусть $y=\cos x$. Тогда:

$$28y^3-24y=0\Rightarrow y(28y^2-24)=0$$

Упростим:

$$y(7y^2-6)=0$$

Шаг 3: Найдём корни уравнения

Первый множитель:

$$y=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Второй множитель:

$$7y^2-6=0\Rightarrow y^2=\frac{6}{7}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{6}{7}}\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{\frac{6}{7}}$$

Шаг 4: Выразим через $\cos 2x$

Формула:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

Подставим:

$${\cos }^{2}x=\frac{6}{7}=\frac{1+\cos 2x}{2}\Rightarrow 1+\cos 2x=\frac{12}{7}\Rightarrow \cos 2x=\frac{12}{7}-1=\frac{5}{7}$$

Шаг 5: Найдём x

$$\cos 2x=\frac{5}{7}\Rightarrow 2x=\pm \arccos \left(\frac{5}{7}\right)+2\pi n\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}\arccos \left(\frac{5}{7}\right)+\pi n$$

Итоговый ответ для б):

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\pm \frac{1}{2}\arccos \left(\frac{5}{7}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$