ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) 3|cosх| + 2cosх = 5|sinх| — 3sinх;

б) 7|cosx| — 4cosх = 3|sinx| + 2sinx.

a) $3|\cos x| + 2\cos x = 5|\sin x| — 3\sin x$;

Если точка $x$ принадлежит первой четверти:

$$3\cos x + 2\cos x = 5\sin x — 3\sin x;$$ $$2\sin x = 5\cos x \quad | : \cos x;$$ $$2\tg x = 5;$$ $$\tg x = 2,5;$$ $$x = \arctg 2,5 + \pi n = \arctg 2,5 + 2\pi n;$$

Если точка $x$ принадлежит второй четверти:

$$-3\cos x + 2\cos x = 5\sin x — 3\sin x;$$ $$2\sin x = -\cos x \quad | : \cos x;$$ $$2\tg x = -1;$$ $$\tg x = -0,5;$$ $$x = -\arctg 0,5 + \pi n = \pi — \arctg 0,5 + 2\pi n;$$

Если точка $x$ принадлежит третьей четверти:

$$-3\cos x + 2\cos x = -5\sin x — 3\sin x;$$ $$8\sin x = \cos x \quad | : \cos x;$$ $$8\tg x = 1;$$ $$\tg x = \frac{1}{8};$$ $$x = \arctg \frac{1}{8} + \pi n = \pi + \arctg \frac{1}{8} + 2\pi n;$$

Если точка $x$ принадлежит четвертой четверти:

$$3\cos x + 2\cos x = -5\sin x — 3\sin x;$$ $$8\sin x = -5\cos x \quad | : \cos x;$$ $$8\tg x = -5;$$ $$\tg x = -\frac{5}{8};$$ $$x = -\arctg \frac{5}{8} + \pi n = -\arctg \frac{5}{8} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\arctg 2,5 + 2\pi n; \quad \pi — \arctg 0,5 + 2\pi n;$$ $$\pi + \arctg \frac{1}{8} + 2\pi n; \quad -\arctg \frac{5}{8} + 2\pi n.$$

б) $7|\cos x| — 4\cos x = 3|\sin x| + 2\sin x$;

Если точка $x$ принадлежит первой четверти:

$$7\cos x — 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x;$$ $$5\sin x = 3\cos x \quad | : \cos x;$$ $$5\tg x = 3;$$ $$\tg x = 0,6;$$ $$x = \arctg 0,6 + \pi n = \arctg 0,6 + 2\pi n;$$

Если точка $x$ принадлежит второй четверти:

$$-7\cos x — 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x;$$ $$5\sin x = -11\cos x \quad | : \cos x;$$ $$5\tg x = -11;$$ $$\tg x = -2,2;$$ $$x = -\arctg 2,2 + \pi n = \pi — \arctg 2,2 + 2\pi n;$$

Если точка $x$ принадлежит третьей четверти:

$$-7\cos x — 4\cos x = -3\sin x + 2\sin x;$$ $$\sin x = 11\cos x \quad | : \cos x;$$ $$\tg x = 11;$$ $$x = \arctg 11 + \pi n = \pi + \arctg 11 + 2\pi n;$$

Если точка $x$ принадлежит четвертой четверти:

$$7\cos x — 4\cos x = -3\sin x + 2\sin x;$$ $$\sin x = -3\cos x \quad | : \cos x;$$ $$\tg x = -3;$$ $$x = -\arctg 3 + \pi n = -\arctg 3 + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\arctg 0,6 + 2\pi n; \quad \pi — \arctg 2,2 + 2\pi n;$$ $$\pi + \arctg 11 + 2\pi n; \quad -\arctg 3 + 2\pi n.$$

а)

Решить уравнение:

$$3|\cos x| + 2\cos x = 5|\sin x| — 3\sin x$$

Чтобы решить это уравнение, рассмотрим значения $|\cos x|$ и $|\sin x|$ в зависимости от четверти, в которой находится $x$. Всего таких случаев — 4, так как от этого зависят знаки тригонометрических функций, а значит — раскрытие модулей.

1. Первая четверть

В первой четверти:

$$\cos x > 0, \quad \sin x > 0 \Rightarrow |\cos x| = \cos x, \quad |\sin x| = \sin x$$

Подставим в уравнение:

$$3\cos x + 2\cos x = 5\sin x — 3\sin x \Rightarrow 5\cos x = 2\sin x$$

Поделим на $\cos x$ (предполагаем $\cos x \ne 0$):

$$5 = 2\tg x \Rightarrow \tg x = \frac{5}{2} = 2{,}5$$

Поскольку $x$ в первой четверти, то:

$$x = \arctg 2{,}5 + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

2. Вторая четверть

Во второй четверти:

$$\cos x < 0, \quad \sin x > 0 \Rightarrow |\cos x| = -\cos x, \quad |\sin x| = \sin x$$

Подставим:

$$3(-\cos x)+2\cos x=5\sin x-3\sin x\Rightarrow$$

$$3(-\cos x) + 2\cos x = 5\sin x — 3\sin x \Rightarrow -3\cos x + 2\cos x = 2\sin x \Rightarrow -\cos x = 2\sin x$$

Разделим обе части на $\cos x$:

$$-1 = 2\tg x \Rightarrow \tg x = -\frac{1}{2} = -0{,}5$$

Так как $x$ во второй четверти, то:

$$x = \pi — \arctg 0{,}5 + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

3. Третья четверть

В третьей четверти:

$$\cos x < 0, \quad \sin x < 0 \Rightarrow |\cos x| = -\cos x, \quad |\sin x| = -\sin x$$

Подставим:

$$3(-\cos x)+2\cos x=5(-\sin x)-3\sin x\Rightarrow -3\cos x+2\cos x=-5\sin x-3\sin x\Rightarrow$$

$$3(-\cos x) + 2\cos x = 5(-\sin x) — 3\sin x \Rightarrow -3\cos x + 2\cos x = -5\sin x — 3\sin x \Rightarrow -\cos x = -8\sin x \Rightarrow \cos x = 8\sin x$$

Разделим на $\cos x$:

$$1 = 8\tg x \Rightarrow \tg x = \frac{1}{8}$$

Так как $x$ в третьей четверти:

$$x = \pi + \arctg \frac{1}{8} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

4. Четвертая четверть

В четвёртой четверти:

$$\cos x > 0, \quad \sin x < 0 \Rightarrow |\cos x| = \cos x, \quad |\sin x| = -\sin x$$

Подставим:

$$3\cos x + 2\cos x = 5(-\sin x) — 3\sin x \Rightarrow 5\cos x = -5\sin x — 3\sin x \Rightarrow 5\cos x = -8\sin x$$

Разделим:

$$\frac{5\cos x}{\cos x} = \frac{-8\sin x}{\cos x} \Rightarrow 5 = -8\tg x \Rightarrow \tg x = -\frac{5}{8}$$

Так как $x$ в четвертой четверти:

$$x = -\arctg \frac{5}{8} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} x_1 &= \arctg 2{,}5 + 2\pi n \\ x_2 &= \pi — \arctg 0{,}5 + 2\pi n \\ x_3 &= \pi + \arctg \frac{1}{8} + 2\pi n \\ x_4 &= -\arctg \frac{5}{8} + 2\pi n \end{aligned} \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} }$$

б)

Решить уравнение:

$$7|\cos x| — 4\cos x = 3|\sin x| + 2\sin x$$

Рассматриваем все четыре четверти, так как значения синуса и косинуса в них могут быть как положительными, так и отрицательными, что влияет на раскрытие модулей.

1. Первая четверть

В первой четверти:

$$\cos x > 0,\quad \sin x > 0 \Rightarrow |\cos x| = \cos x,\quad |\sin x| = \sin x$$

Подставляем:

$$7\cos x — 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x$$ $$3\cos x = 5\sin x$$

Разделим обе части на $\cos x \ne 0$:

$$3 = 5\tg x \Rightarrow \tg x = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

Так как $x$ из I четверти, то:

$$x = \arctg 0{,}6 + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

2. Вторая четверть

Во второй четверти:

$$\cos x < 0,\quad \sin x > 0 \Rightarrow |\cos x| = -\cos x,\quad |\sin x| = \sin x$$

Подставляем:

$$7(-\cos x) — 4\cos x = 3\sin x + 2\sin x \Rightarrow -7\cos x — 4\cos x = 5\sin x$$ $$-11\cos x = 5\sin x \Rightarrow 5\tg x = -11 \Rightarrow \tg x = -\frac{11}{5} = -2{,}2$$

Так как $x$ из II четверти, то:

$$x = \pi — \arctg 2{,}2 + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

3. Третья четверть

В третьей четверти:

$$\cos x < 0,\quad \sin x < 0 \Rightarrow |\cos x| = -\cos x,\quad |\sin x| = -\sin x$$

Подставляем:

$$7(-\cos x) — 4\cos x = 3(-\sin x) + 2\sin x \Rightarrow -7\cos x — 4\cos x = -3\sin x + 2\sin x$$ $$-11\cos x = -\sin x \Rightarrow \sin x = 11\cos x \Rightarrow \tg x = 11$$

Так как $x$ из III четверти, то:

$$x = \pi + \arctg 11 + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

4. Четвертая четверть

В четвёртой четверти:

$$\cos x > 0,\quad \sin x < 0 \Rightarrow |\cos x| = \cos x,\quad |\sin x| = -\sin x$$

Подставляем:

$$7\cos x — 4\cos x = 3(-\sin x) + 2\sin x \Rightarrow 3\cos x = -3\sin x + 2\sin x = -\sin x$$ $$3\cos x = -\sin x \Rightarrow \tg x = -3$$

Так как $x$ из IV четверти, то:

$$x = -\arctg 3 + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} x_1 &= \arctg 0{,}6 + 2\pi n \\ x_2 &= \pi — \arctg 2{,}2 + 2\pi n \\ x_3 &= \pi + \arctg 11 + 2\pi n \\ x_4 &= -\arctg 3 + 2\pi n \end{aligned} \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} }$$