ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x-\sin 2x+\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x=0$$

Решить уравнение:

$$\cos^4 x + \sin^4 x — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0;$$ $$(\cos^2 x + \sin^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0;$$ $$1^2 — 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0;$$ $$\frac{1}{4} \sin^2 2x — \sin 2x + 1 = 0;$$

Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$\frac{1}{4} y^2 — y + 1 = 0;$$ $$y^2 — 4y + 4 = 0;$$ $$(y — 2)^2 = 0;$$ $$y — 2 = 0;$$ $$y = 2;$$ $$\sin 2x = 2 \quad \text{— корней нет};$$

Ответ: $\varnothing$.

Задано уравнение:

$$\cos^4 x + \sin^4 x — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0$$

Шаг 1: Преобразуем сумму $\cos^4 x + \sin^4 x$

Используем тождество:

$$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 — 2a^2b^2$$

Заменим $a = \cos x$, $b = \sin x$:

$$\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 — 2\cos^2 x \cdot \sin^2 x$$

А поскольку:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 = 1$$

Получаем:

$$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 — 2\cos^2 x \cdot \sin^2 x$$

Шаг 2: Подставим это выражение в уравнение

Итак, исходное уравнение теперь выглядит так:

$$(1 — 2\cos^2 x \cdot \sin^2 x) — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0$$

Шаг 3: Выразим $\cos^2 x \cdot \sin^2 x$ через $\sin^2 2x$

Вспомним формулу двойного угла:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x$$

Следовательно:

$$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$$

Шаг 4: Подставим это тоже в уравнение

Уравнение принимает вид:

$$1 — 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0$$

Упростим:

$$1 — \frac{1}{2} \sin^2 2x — \sin 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0$$

Шаг 5: Объединим подобные слагаемые

Сгруппируем:

• $— \frac{1}{2} \sin^2 2x + \frac{3}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$
• Остальное без изменений

Получаем:

$$1 + \frac{1}{4} \sin^2 2x — \sin 2x = 0$$

Шаг 6: Упорядочим уравнение

Запишем в удобной форме:

$$\frac{1}{4} \sin^2 2x — \sin 2x + 1 = 0$$

Шаг 7: Заменим $y = \sin 2x$

Это удобно, так как уравнение становится квадратным:

$$\frac{1}{4} y^2 — y + 1 = 0$$

Шаг 8: Избавимся от дроби, умножив на 4

$$y^2 — 4y + 4 = 0$$

Шаг 9: Решим квадратное уравнение

$$y^2 — 4y + 4 = 0 \Rightarrow (y — 2)^2 = 0 \Rightarrow y = 2$$

Шаг 10: Вернёмся к переменной $x$

Мы обозначали $y = \sin 2x$, значит:

$$\sin 2x = 2$$

Но синус любого действительного угла не может превышать 1 по модулю, то есть:

$$|\sin 2x| \leq 1 \Rightarrow \sin 2x = 2 \quad \text{невозможно}$$

Вывод: уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел.

Ответ:

$$\boxed{\varnothing}$$