ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) cos4х + 5cos²х = 0,75;

б) cos4х + 3 sin²х = 0,25.

a) $\cos 4x + 5 \cos^2 x = 0.75$

Преобразуем уравнение:

$$\cos 4x + 5 \cos^2 x = 0.75$$

Используем формулу для косинуса двойного угла:

$$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x$$

Также используем:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставляем в уравнение:

$$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 5 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = 0.75$$

Продолжаем преобразования:

$$\cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x) + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cos 2x = \frac{3}{4}$$ $$\cos^2 2x — 1 + \cos^2 2x + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cos 2x = \frac{3}{4}$$ $$2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x — 1 + \frac{5}{2} — \frac{3}{4} = 0$$ $$2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x + \frac{10}{4} — \frac{4}{4} — \frac{3}{4} = 0$$ $$2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x + \frac{3}{4} = 0$$

Умножаем все на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$8 \cos^2 2x + 10 \cos 2x + 3 = 0$$

Введем замену $y = \cos 2x$:

$$8y^2 + 10y + 3 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 — 96 = 4$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-10 — 2}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$$ $$y_2 = \frac{-10 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$$

Решаем для каждого значения $y$:

• Первое значение:

  $$\cos 2x = -\frac{3}{4}$$ $$2x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n$$

• Второе значение:

  $$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = \pm \left(\pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + \pi n}$$

б) $\cos 4x + 3 \sin^2 x = 0.25$

Преобразуем уравнение:

$$\cos 4x + 3 \sin^2 x = 0.25$$

Используем формулу для косинуса двойного угла:

$$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x$$

Также используем:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставляем в уравнение:

$$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 3 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} = 0.25$$

Продолжаем преобразования:

$$\cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x) + \frac{3}{2} — \frac{3}{2} \cos 2x = \frac{1}{4}$$ $$\cos^2 2x — 1 + \cos^2 2x + \frac{3}{2} — \frac{3}{2} \cos 2x = \frac{1}{4}$$ $$2 \cos^2 2x — \frac{3}{2} \cos 2x — 1 + \frac{3}{2} — \frac{1}{4} = 0$$ $$2 \cos^2 2x — \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{6}{4} — \frac{4}{4} — \frac{1}{4} = 0$$ $$2 \cos^2 2x — \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} = 0$$

Умножаем все на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$8 \cos^2 2x — 6 \cos 2x + 1 = 0$$

Введем замену $y = \cos 2x$:

$$8y^2 — 6y + 1 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 — 32 = 4$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{6 — 2}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ $$y_2 = \frac{6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Решаем для каждого значения $y$:

• Первое значение:

  $$\cos 2x = \frac{1}{4}$$ $$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$$

• Второе значение:

  $$\cos 2x = \frac{1}{2}$$ $$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n; \pm \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

а) $\cos 4x + 5 \cos^2 x = 0{,}75$

Шаг 1: Преобразуем выражение $\cos 4x$ через $\cos 2x$

Вспомним тригонометрическую формулу:

$$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x$$

Также знаем, что:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставим это в уравнение:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x + 5 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = 0{,}75$$

Шаг 2: Упростим $\cos^2 2x — \sin^2 2x$

Используем тождество $\sin^2 2x = 1 — \cos^2 2x$:

$$\cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x) = \cos^2 2x — 1 + \cos^2 2x = 2 \cos^2 2x — 1$$

Теперь всё уравнение становится:

$$(2 \cos^2 2x — 1) + \frac{5}{2}(1 + \cos 2x) = 0{,}75$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

$$2 \cos^2 2x — 1 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cos 2x = 0{,}75$$

Шаг 4: Приводим подобные слагаемые

Сначала объединим константы:

$$-1 + \frac{5}{2} = \frac{-2}{2} + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$$

Теперь всё уравнение:

$$2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$$

Шаг 5: Переносим правую часть влево

Всё переносим влево, приводим к нулю:

$$2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x + \frac{3}{2} — \frac{3}{4} = 0$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{3}{2} — \frac{3}{4} = \frac{6 — 3}{4} = \frac{3}{4}$$

Итог:

$$2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x + \frac{3}{4} = 0$$

Шаг 6: Избавляемся от дробей

Умножим всё уравнение на 4:

$$4 \cdot \left(2 \cos^2 2x + \frac{5}{2} \cos 2x + \frac{3}{4} \right) = 0 \Rightarrow 8 \cos^2 2x + 10 \cos 2x + 3 = 0$$

Шаг 7: Вводим замену $y = \cos 2x$

$$8y^2 + 10y + 3 = 0$$

Шаг 8: Решаем квадратное уравнение

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 — 96 = 4$$

Теперь найдём корни:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 2}{16}$$

• $y_1 = \frac{-10 — 2}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$
• $y_2 = \frac{-10 + 2}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

Шаг 9: Возвращаемся к переменной $x$

Для $\cos 2x = -\frac{3}{4}$:

$$2x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n$$

Для $\cos 2x = -\frac{1}{2}$:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ $$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n;\quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n }$$

б) $\cos 4x + 3 \sin^2 x = 0{,}25$

Шаг 1: Преобразуем выражения

$$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x,\quad \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставим в уравнение:

$$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 3 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} = 0.25$$

Шаг 2: Упростим $\cos^2 2x — \sin^2 2x$

$$\cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x) = 2 \cos^2 2x — 1$$

Уравнение:

$$2 \cos^2 2x — 1 + \frac{3}{2}(1 — \cos 2x) = 0.25$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

$$2 \cos^2 2x — 1 + \frac{3}{2} — \frac{3}{2} \cos 2x = 0.25$$

Шаг 4: Приводим подобные

$$-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$

Итог:

$$2 \cos^2 2x — \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} = 0.25$$

Шаг 5: Переносим всё влево

$$2 \cos^2 2x — \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} — \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 2x — \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} = 0$$

Шаг 6: Избавляемся от дробей

Умножаем всё на 4:

$$8 \cos^2 2x — 6 \cos 2x + 1 = 0$$

Шаг 7: Замена $y = \cos 2x$

$$8y^2 — 6y + 1 = 0$$

Шаг 8: Решаем квадратное уравнение

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 — 32 = 4$$

Корни:

• $y_1 = \frac{6 — 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
• $y_2 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Шаг 9: Возвращаемся к $x$

Для $\cos 2x = \frac{1}{4}$:

$$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$$

Для $\cos 2x = \frac{1}{2}$:

$$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n;\quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n }$$