ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$2{\sin }^{3}x-\cos 2x=\sin x$$

Решить уравнение:

$$2{\sin }^{3}x-\cos 2x=\sin x;$$

$$$$$$2{\sin }^{3}x-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\sin x;$$

$$$$$$2{\sin }^{3}x-(1-{\sin }^{2}x)+{\sin }^{2}x=\sin x;$$

$$$$$$2{\sin }^{3}x+2{\sin }^{2}x-1-\sin x=0;$$

$$$$$$2{\sin }^{2}x\cdot (\sin x+1)-(\sin x+1)=0;$$

$$$$$$(2{\sin }^{2}x-1)(\sin x+1)=0;$$

1) Первое уравнение:

$$2{\sin }^{2}x-1=0;$$

$$$$$$2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=1;$$

$$$$$$1-\cos 2x=1;$$

$$$$$$\cos 2x=0;$$

$$$$$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

$$$$$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};$$

2) Второе уравнение:

$$\sin x+1=0;$$

$$$$$$\sin x=-1;$$

$$$$$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi m;$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi }{2}+2\pi m}}$$

Шаг 1: Исходное уравнение

Рассматриваем:

$$2{\sin }^{3}x-\cos 2x=\sin x$$

Шаг 2: Перенос правой части влево

Приведём уравнение к виду:

$$2{\sin }^{3}x-\cos 2x-\sin x=0$$

Шаг 3: Выражаем $\cos 2x$ через $\sin x$

Используем формулу двойного угла:

$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$

и вспомним основное тригонометрическое тождество:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$$

Тогда:

$$\cos 2x=(1-{\sin }^{2}x)-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x$$

Значит, подставляем:

$$2{\sin }^{3}x-(1-2{\sin }^{2}x)-\sin x=0$$

Шаг 4: Раскрываем скобки

Аккуратно раскроем скобки:

$$2{\sin }^{3}x-1+2{\sin }^{2}x-\sin x=0$$

Шаг 5: Приводим подобные слагаемые

Группируем и перепишем в стандартном порядке:

$$2{\sin }^{3}x+2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$$

Шаг 6: Вынесем общий множитель

Попробуем сгруппировать:

$$(2{\sin }^{3}x+2{\sin }^{2}x)-(\sin x+1)=0$$

В первой скобке:

$$2{\sin }^{2}x(\sin x+1)$$

Во второй:

$$-1\cdot (\sin x+1)$$

Итого:

$$2{\sin }^{2}x(\sin x+1)-(\sin x+1)=0$$

Шаг 7: Вынесем общий множитель $(\sin x+1)$

$$(\sin x+1)\cdot (2{\sin }^{2}x-1)=0$$

Шаг 8: Решим произведение

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть:

Вариант 1:

$$\sin x+1=0\Rightarrow \sin x=-1$$

Вариант 2:

$$2{\sin }^{2}x-1=0\Rightarrow {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Рассмотрим оба варианта отдельно.

Часть 1: $\sin x=-1$

Это значение синуса достигается в точке:

$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$$

Часть 2: $\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим:

$$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,\text{и }x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$$

и:

$$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n,\text{и }x=\frac{7\pi }{4}+2\pi n$$

Но нас интересует только те значения, которые удовлетворяют уравнению:

$$2{\sin }^{3}x-\cos 2x=\sin x$$

Вместо этого — используем обратный путь:

$$2{\sin }^{2}x-1=0\Rightarrow {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow \cos 2x=0$$

Следовательно:

$$\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};x=-\frac{\pi }{2}+2\pi m,n,m\in \mathbb{Z}}}$$