ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=3+\cos 4x$$

Решить уравнение:

$$\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=3+\cos 4x;$$

$$\tg x + \ctg x = 3 + \cos 4x;$$ $$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=2+(1+\cos 4x);$$

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2 + (1 + \cos 4x);$$ $$\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}=2+2\cdot \frac{1+\cos 4x}{2};$$

$$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = 2 + 2 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2};$$ $$\frac{1}{0,5\cdot 2\sin x\cdot \cos x}=2+2{\cos }^{2}2x;$$

$$\frac{1}{0,5 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x} = 2 + 2 \cos^2 2x;$$ $$\frac{1}{0,5\sin 2x}=2+(2-2{\sin }^{2}2x);$$

$$\frac{1}{0,5 \sin 2x} = 2 + (2 — 2 \sin^2 2x);$$ $$\frac{2}{\sin 2x} = 4 — 2 \sin^2 2x;$$

1) Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$\frac{2}{y}=4-2y^2;$$

$$\frac{2}{y} = 4 — 2y^2;$$ $$2=4y-2y^3;$$

$$2 = 4y — 2y^3;$$ $$2y^3-4y+2=0;$$

$$2y^3 — 4y + 2 = 0;$$ $$y^3-2y+1=0;$$

$$y^3 — 2y + 1 = 0;$$ $$(y^3-y)-(y-1)=0;$$

$$(y^3 — y) — (y — 1) = 0;$$ $$(y — 1)(y^2 + y — 1) = 0;$$

2) Первое уравнение:

$$y-1=0;$$

$$y — 1 = 0;$$ $$y=1;$$

$$y = 1;$$ $$\sin 2x=1;$$

$$\sin 2x = 1;$$ $$2x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

3) Второе уравнение:

$$y^2+y-1=0;$$

$$y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 = 1 + 4 = 5,$$

тогда:

$$y_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<-1\text{и}{y}_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2};$$

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} < -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2};$$ $$\sin 2x=\frac{\sqrt{5}-1}{2};$$

$$\sin 2x = \frac{\sqrt{5} — 1}{2};$$ $$2x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}+\pi n;$$

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{5} — 1}{2} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{\sqrt{5} — 1}{2} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{\sqrt{5} — 1}{2} + \frac{\pi n}{2}}$$

Шаг 1. Запись уравнения через синус и косинус

Начнем с переписывания уравнения:

$$\tg x + \ctg x = 3 + \cos 4x$$

Подставим определения тангенса и котангенса:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 3 + \cos 4x$$

Теперь приведем левую часть к общему знаменателю не будем — вместо этого заметим:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \tg x + \ctg x$$

Сложим дроби:

$$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 3 + \cos 4x$$

Но мы знаем, что:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Тогда:

$$\frac{1}{\sin x \cos x} = 3 + \cos 4x$$

Шаг 2. Используем формулы двойного угла

Напомним формулу:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Тогда:

$$\frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 3 + \cos 4x \Rightarrow \frac{2}{\sin 2x} = 3 + \cos 4x$$

Шаг 3. Замена: $y = \sin 2x$

Пусть:

$$y = \sin 2x$$

Тогда:

$$\frac{2}{y} = 3 + \cos 4x$$

Шаг 4. Выражаем $\cos 4x$ через $\sin 2x$

Формула понижения степени:

$$\cos 4x = 1 — 2 \sin^2 2x = 1 — 2y^2$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{2}{y} = 3 + (1 — 2y^2) = 4 — 2y^2$$

Шаг 5. Преобразуем уравнение

$$\frac{2}{y} = 4 — 2y^2$$

Умножим обе части уравнения на $y$ (предполагая, что $y \ne 0$):

$$2 = 4y — 2y^3$$

Приведем все к одной стороне:

$$2y^3 — 4y + 2 = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$y^3 — 2y + 1 = 0$$

Шаг 6. Решим кубическое уравнение

Уравнение:

$$y^3 — 2y + 1 = 0$$

Проверим рациональные корни: подставим $y = 1$:

$$1^3 — 2 \cdot 1 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ — корень}$$

Разделим многочлен на $(y — 1)$ (с помощью деления столбиком или группировки):

$$y^3 — 2y + 1 = (y — 1)(y^2 + y — 1)$$

Таким образом:

$$(y — 1)(y^2 + y — 1) = 0$$

Шаг 7. Найдем корни

Первый корень:

$$y — 1 = 0 \Rightarrow y = 1$$

Поскольку $y = \sin 2x$, то:

$$\sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второй и третий корни из квадратного уравнения:

$$y^2 + y — 1 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$ $$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Анализируем:

• Один из корней отрицательный и по модулю больше 1:

  $$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 — 2.236}{2} \approx \frac{-3.236}{2} \approx -1.618 \Rightarrow \text{не подходит (вне области значений } \sin)$$

• Второй корень:

  $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx \frac{1.236}{2} \approx 0.618 \in [-1,1] \Rightarrow \text{подходит}$$

Теперь:

$$\sin 2x = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}$$

Общий вид решения:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{5} — 1}{2} \right) + \pi n$$

Разделим обе части на 2:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{\sqrt{5} — 1}{2} \right) + \frac{\pi n}{2}$$

Финальный ответ:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{\sqrt{5} — 1}{2} \right) + \frac{\pi n}{2} }$$

Где $n \in \mathbb{Z}$ — любое целое число.