ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) 3sin2х + cos2х = 2;

б) cos4х + 2sin4х = 1.

a) $3 \sin 2x + \cos 2x = 2$;

$3 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} + \frac{1 — \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 2$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$3 \cdot \frac{2y}{1 + y^2} + \frac{1 — y^2}{1 + y^2} = 2;$$ $$6y + 1 — y^2 = 2(1 + y^2);$$ $$3y^2 — 6y + 1 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 3 = 36 — 12 = 24 = 4 \cdot 6, \text{тогда:}$$ $$y = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3};$$ $$x = \arctg \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3} + \pi n;$$

Выполним проверку:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$2x = \pi + 2\pi n;$$ $$3 \sin (\pi + 2\pi n) + \cos (\pi + 2\pi n) = 3 \cdot 0 — 1 = -1 \neq 2;$$

Ответ: $\arctg \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3} + \pi n$.

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$;

$$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 2 \cdot 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \sin^2 2x + \cos^2 2x;$$ $$2 \sin^2 2x — 4 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0 \quad | : \sin^2 2x;$$ $$2 — 4 \operatorname{ctg} 2x = 0;$$ $$4 \operatorname{ctg} 2x = 2;$$ $$\operatorname{ctg} 2x = \frac{1}{2};$$ $$\operatorname{tg} 2x = 2;$$ $$2x = \arctg 2 + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2};$$

Одно из решений:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}$.

а) Решить уравнение:

$$3 \sin 2x + \cos 2x = 2$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение через тангенс

Знаем, что:

$$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}, \quad \cos 2x = \frac{1 — \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$$

Подставим эти формулы в уравнение:

$$3 \cdot \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} + \frac{1 — \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = 2$$

Примем:

$$y = \tan x$$

Тогда уравнение становится:

$$3 \cdot \frac{2y}{1 + y^2} + \frac{1 — y^2}{1 + y^2} = 2$$

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю

Левая часть уравнения:

$$\frac{6y + 1 — y^2}{1 + y^2}$$

Теперь приравняем числители:

$$\frac{6y + 1 — y^2}{1 + y^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad 6y + 1 — y^2 = 2(1 + y^2)$$

Шаг 3. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть

$$6y + 1 — y^2 = 2 + 2y^2$$

Переносим всё в одну сторону:

$$6y + 1 — y^2 — 2 — 2y^2 = 0 \Rightarrow -3y^2 + 6y — 1 = 0$$

Домножим на $-1$ для удобства:

$$3y^2 — 6y + 1 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Уравнение:

$$3y^2 — 6y + 1 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 — 12 = 24$$

Корни:

$$y = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$$

Итак:

$$\tan x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$$

Шаг 5. Найдём x

$$x = \arctan \left( \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3} \right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это общее решение, так как функция тангенс периодична с периодом $\pi$.

Шаг 6. Проверка исключённых значений

Проверим значение:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \tan x \text{ не существует (асимптота)}$$

Подставим:

$$2x = \pi + 2\pi n \Rightarrow \sin(\pi) = 0, \quad \cos(\pi) = -1$$

Тогда:

$$3 \cdot 0 + (-1) = -1 \neq 2 \quad \text{— не подходит!}$$

Ответ для пункта (а):

$$\boxed{x = \arctg \left( \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3} \right) + \pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Решить уравнение:

$$\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$$

Шаг 1. Используем формулы двойного угла

Вспомним:

• $\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x$
• $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$

Тогда:

$$\cos 4x + 2 \sin 4x = (\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 2 \cdot 2 \sin 2x \cos 2x$$ $$= \cos^2 2x — \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x$$

А правая часть уравнения:

$$= 1 = \sin^2 2x + \cos^2 2x \quad \text{(т.к. это тождество)}$$

Получаем:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x = \cos^2 2x + \sin^2 2x$$

Переносим всё в одну сторону:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x — \cos^2 2x — \sin^2 2x = 0$$

Сократим:

$$-2 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x = 0$$

Вынесем $2 \sin 2x$ за скобки:

$$2 \sin 2x (-\sin 2x + 2 \cos 2x) = 0$$

Шаг 2. Разделим на случаи

• $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$
• $-\sin 2x + 2 \cos 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 2 \cos 2x$

Поделим обе части на $\cos 2x$ (если не ноль):

$$\tan 2x = 2 \Rightarrow 2x = \arctan 2 + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \arctan 2 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для пункта (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$